食堂排队-数学建模-
参考修改
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
食堂排队问题建模
引言
在学校里，我们常常可以看到这样的情景：下课后，许多同学争相跑向食堂去买饭，为数不多的食堂窗口前没过几分钟就排满了长长的队伍，本来空荡荡的食堂也立即变得拥挤不堪。

饥肠辘辘的同学们见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道呢？增加窗口数量，减少排队等待时间，是同学们十分关心的问题。

然而就食堂角度来看，虽然增加窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对食堂的满意程度，从而赢得更多同学到该食堂来就餐。

但是，同时也会增加食堂的运营成本。

因此，如何在这两者之间进行权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。

本论文将根据西区五餐厅食堂中午的拥挤状况建立数学模型，通过各方面因素的分析，为其拥挤状况找到一个比较合理的解决方案。

摘要
1.首先，我分析了一些调查数据，发现学生流符合泊松分布，服务时间符合指数分布，由此，我们的模型就变成了排队理论模型，根据模型公式中的各项效率指标公式，我们可得到学生食堂拥挤情况的各方面数据。

2.根据模型求解得到的数据，我对模型进行了更精确的分析。

分析发现，解决本模型的关键就在于分析学生平均排队时间，如果对其窗口数进行关系拟合，就两者之间的关系进行分析。

3.针对窗口数与顾客平均排队时间之间的关系，比较增加窗口后成本的增加量与减少排队等待时间所带来的收益之间的关系，得出食堂每排设5个窗口比较合理。

关键词
排队论 M\M\n 模型
模型的建立与分析
由于周六周日学校基本上没课，所以学生去食堂的时间较分散，很少有排长队的现象，在这里就只对周一至周五食堂拥挤情况进行分析。

经过调查分析，我发现一般打到饭的同学都能找到座位吃饭，因此，可以认为食堂的座位数是足够的，不需要添加新的桌椅。

所以解决食堂拥挤状况，主要解决排长队的问题。

就此问题建立模型，进行分析。

调查数据
统计从12月28到1月1中午食堂吃饭学生的分别情况做一统计： 见下表：
由概率论的知识可知，若分布满足：
k
p p k λ=-1k 则该分布为泊松分布。

（其中k p 为泊松分布的密度，λ为泊松分布的参数） 由上表可知λ=3.39.经检验，该分布近似于泊松分布。

虽然只是一周的调查数据，但考虑到学生到食堂就餐具有较大的稳定性，所以可以认为数据具有可靠性。

模型假设
1.由于学校的学生多，而食堂少，在中午时间段，学生有大部分集中在12：00到12：30这一时间段去吃饭，故可认为在该时间段中学生是无限的，而且学生单独来且相互独立。

2.学生对菜色没有特别偏好，每个窗口对学生来说都是一样的。

3.食堂实行先来先服务原则，且学生可以自由在队列间进行转移，并总向较短的队进行转移。

没有学生会因为队列过长而离去，故可以认为排队方式是单一的队列等待制。

4.食堂共6个窗口，经观察发现，每个窗口服务员的工作效率是随机的，很难对其进行精确的分析。

所以由一般统计规律，认为其满足指数分布，平均每个学生的服务时间是15秒，且服务员之间误差异。

5.以10秒为一个单位时间。

模型建立
基于以上的假设，模型符合排队论中的模型类型（M/M/n ）。

该模型的特点是：服务系统中有n 个服务员，顾客按泊松分布流来到服务系统，到达强度为λ；服务员的能力都是μ，服务的时间服从指数分布。

当学生到达时，如果所有服务员都忙着，学生便参加排队，等待服务，一直等到有服务员为他们服务为止。

这个系统的效率指标有： 学生到达的强度 λ
每个学生的平均服务时间 t
服务员能力 t
1
=μ
系统服务强度，即平均每单位时间中系统可以为学生服务的时间比例 μ
λρ=
空闲概率 )])
(!()![(1
P 1
0ρρ-++∑
=-n n i p n i
系统中排队学生的平均数：）
（n
12
1
n !n n ρ
ρ
-
⨯=
+P L
学生平均排队时间：λ
L
W =
学生平均等待时间:t 0+=W W 系统中学生的平均数：ρ+=L L 0 模型求解
由调查的数据可知 λ=3.39，t =1.5,n=6,代入上式可得：
服务能力t 1
=μ=0.67,系统服务强度例 μλρ==5.09，因为 n ρ=5.09/6=0.85＜1,
所以极限存在。

空闲概率：)])
(!()![(1
P 1
0ρρ
-++∑=-n n i p n i =0.031
系统中排队学生的平均数：）
（n
12
1
n !n *n ρ
ρ
-
+=
P L =27
学生平均排队时间：λ
L
W =
=7.96
学生平均等待时间：t 0+=W W =9.45 系统中学生的平均数：ρ+=L L 0=32.09
由此可见，当我们在中午12：00到12：20这个时间段去餐厅吃饭时，一进门就会发现已经是人满为患了，几乎不可能找到空闲的窗口。

而且，已经有32个同学在等待排队买饭。

27个人在排队等待，平均一个窗口5人。

当我们开始排队时要80秒才轮到我们，要过95秒我们才能吃上饭。

下表是一组统计数字：
模型分析
对学生来说中午的时间是有限的，能尽快的吃上饭对我们来所是很重要的。

同时，学生在食堂排队的平均等待时间很大程度上可以决定学生对食堂的选择，所以食堂工作人员也希望能尽可能的满足学生的需求。

研究学生平均等待时间，将是解决本模型的关键所在。

平均等待时间是由平均排队时间和平均服务时间组成。

认为15秒的平均服务时间对于服务员来说已经是极限了，如果再加快速度反而可能手忙脚乱了，增大出错的可能性，到时反而会降低效率，所以可以认为平均服务时间不可改变，是个常数。

对于平均排队时间，由公式可知它是学生到达强度，每个学生的平均服务时间和窗口数来决定的，由于学生对食堂的选择都有一定的偏好，即一般都会去一个食堂吃饭，因此能对平均排队时间构成影响的就是窗口数n了，就n的取值对W的影响分析可得如下图：
x x 3
26.2836981.6-x 8.1123.4y ++-=
从图中可以看出，随着窗口数的增加，平均排队等待时间急剧减少，当窗口数达到5后时，变化趋于平缓。

窗口的优化设计
对于学生来说，当然是排队等待时间越短越好，对于食堂方面来说，窗口的数的增加一方面会导致成本的增加，另一方面会缩短排队时间，意味着它能为更多的学生服务，所以它是否会增加窗口数就取决于成本和收益的关系。

一般来说，每增加一个窗口，需要多配备三名服务人员以及一些配套的设施。

所以增加窗口数所带来的成本等于新增服务人员的工资加上配套的设施的维修和清洗费。

新增的窗口的收益是很难估计的。

当增加窗口时，收益会增加吗？还是其他的原因呢，从理论上来讲，单从一个食堂来讲，7个窗口时最适合的，但是事实上由于整个学校的学生人数是一定的，但当增加窗口时，必然会夺走其他窗口的学生，因此其他的食堂也要增加窗口，使学生重新分派，最后达到一个平衡。

但是最终的结果是可想而知的，虽然减少了排队时间，但是学生数并没有增加，利润也没有增加，这样的做法是得不偿失的。

所以在学校这个以学生为中心的基础上，如果不只是看重经济利益，对于五号餐厅来说，则增加一个窗口来满足学生的需求。

参考资料
刘来福，曾文艺，数学模型与数学建模，北京师范大学出版社陆凤山，排队论及其应用，湖南科学技术出版社。