平面向量复习讲义一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

如 下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的线性运算：（1）向量加法：①三角形法则:（“首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作+a b定：a + 0-= 0 + a =a,当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； 当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |； 若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. 结论：a b a b +≤+②平行四边形法则:以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。

③加法的运算律1）向量加法的交换律：a +b =b +a2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )（2）向量减法：向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.1.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b2.求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - b ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， OB = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.由减向量的终点指向被减向量的终点。

注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

注意：1︒AB 表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)OABaB’b -bba + (-b )abOabB aba -b课堂练习：1.化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0）；2.若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（3）向量数乘：求实数λ与向量a 的积的运算1．.λa |＝|λ|_|a |_______；2．当λ>0时，λa 的方向与a 的方向___相同_；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反____；当λ＝0时，λa ＝0____3．向量数乘的运算律λ(μa )＝_（λμ）a ______；(λ＋μ)a ＝___λa ＋μa __；λ(a ＋b )＝__λa ＋λb _____。

（4）共线向量定理a 是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．（证明三点共线）三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线。

注意：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的`区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线．例1. 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．四．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2我们把不共线的向量e 1和e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

向量的夹角:已知两个非零向量a 、b ，作a A O =，b B O =，则∠AOB ＝θ，叫向量a 、b的夹角，当0θ=，a 、b 同向，当180θ=，a 、b 反向，当90θ=，a 与b 垂直，记作a⊥b。

例1如图，在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ， b 表示AG →.用方程思想解决平面向量的线性运算问题：例2如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →. 解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .课堂练习：（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：1322a b -）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-（答：B ）；（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答：2433a b +）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）五．平面向量的坐标运算：若在平面直角坐标系下，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)加法：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)减法：a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)数乘：λ a ＝(λ x 1，λ y 1)（4）向量的坐标：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2121(,)AB x x y y =--，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

（5）中点坐标：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++ （6）向量相等：:若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔=2121y y x x b a（7）向量共线或平行：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若//a b ，则1221x y x y =.题型一 求向量的坐标【例题1】如图所示，若2=→OA ,OA 与x 轴正方向夹角为30°，求向量→OA 的坐标.OxAy【例题2】ABC ∆的三个顶点的坐标分别是)8,1(),6,7(),6,4(C B A ，D 为BC 的中点，求向量→→→BC AD AB ,,.题型二 由向量相等求参数的值【例题3】已知向量)2,5(),,(22-=+=→→b xy y x a ，若→→=b a ，求y x ,的值.题型三 平面向量的坐标运算 1. 向量坐标运算的直接应用【例题4】已知平面向量)1,1(),1,1(-==→→b a ，则向量→→-b a 2321=（ ）A. )1,2(B. )1,2(-C. )2,1(D. )2,1(-2. 利用向量坐标运算求点的坐标【例题5】已知)4,3(),1,3(),4,2(----C B A 且→→→→==CB CN CA CM 2,3,求N M ,的坐标.题型四 平面向量平行的坐标运算【例题6】(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线（答：－2或11）六．平面向量的数量积（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：1．当θ＝０时，ａ与ｂ同向；2．当180θ=时，ａ与ｂ反向；3．当90θ=时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；4．注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒（2）平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a b 与，它们的夹角是θ，则数量cos θa b 叫a b 与的数量积，记作a b ，即有a b =cos θa b ，（０≤θ≤π）.注意数量积是一个实数，不再是一个向量。