五、平面向量的基本定理
→→
→
如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 1 、2 ，
→
使 a = 1e1 + 2 e2 ， e1 、 e2 称为一组基底.
六、向量中一些常用的结论 （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
→→
4、定比分点：若 P ( x, y ) 是直线 P1P2 上一点，坐标 P1 ( x1, y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) ，且 P1P = PP2 （ 为任意实
数且
−1），则称
P
分有向线段
P1P2
所成比为
，
P
点的坐标满足
x
y
= =
x1 + x2 1+ y1 + y2
1+
（2）零向量方向是任意的，它对应的几何图形是一个点；
（3）对于 0 是可以根据需要确定其方向的，因此 0 可看作与任意向量平行；
（4）对于向量而言，平行与共线同义；
（5）相等向量、负向量、平行向量之间的关系： a = b a//b, c = −d c//d
二、向量的坐标表示：
1、单位向量：模为 1 的向量叫做单位向量。在平面直角坐标系内，方向分别与 x 轴和 y 轴正方向相同的 两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为 i 和 j 。
①交换律成立： a b = b a
( ) ( ) ( ) ②对实数的结合律成立： a b = a b = a b ( R)
( ) ( ) ③分配律成立： a b c = a c b c = c a b
④乘法公式成立：
( )( ) 2 2
2
2
a+b a−b =a −b = a − b ；
0 ，则 ABC 的形状是
三角形.
7、已知 a = (3, ) ， b = (4, −3) ，若 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值范围为
.
8、若两人提重为 G 的一桶水，夹角为 ，用力为 F ，则 F =
.
9、已知 a = 2 b 0 ，且关于 x 的方程 x2 + a x + a b = 0 有实根，则 a 与 b
当 = 1时， P 即为 P1P2 中点。
四、两个向量的数量积：
1、两个向量的夹角：对于两个非零向量 a 和 b ，如果以 O 为起点，作 OA = a ，OB = b ，那么射线 OA、OB
的夹角 叫做向量 a 和 b 的夹角，其中 0 。当 a 与 b 同方向时， = 0 ，当 a 与 b 反方向时 = 180 ，
三、向量的运算：
1、实数 与非零向量 a 的乘积是一个向量，记作 a, a 的模和方向规定如下：
（1） a = a ； （2）当 0 时， a 与 a 的方向相同；当 0 时， a 与 a 的方向相反；当 = 0 时， a 为零向量. 规定： R, 0 = 0
2、设 是一个实数， a = ( x1, y1 ) ， b = ( x2, y2 )
→→
→→
（2） a − b a b a + b ，特别地，
→→
→→
→→
→→
当 a、b 同向或有 0 a+ b = a + b a − b = a− b ；
→→
→→
→→
→→
当 a、b 反向或有 0 a− b = a + b a − b = a+ b ；
→→
→→
→→
当 a、b 不共线 a − b a b a + b (这些和实数比较类似).
第二象限，则 t 的取值范围是
.
2、设向量 a(3, 4) ， a ⊥ b ，则向量 b 的单位向量是
.
3、在平面直角坐标系中有三点 A(1, 2) 、 B(3, −2) 、 C(9, 7) ，若 E 、 F 为线段
BC 的三等分点，则 AE AF =
.
4、已知 AD 、 BE 、 CF 为 ABC 的中线， G 为重心， AD = m ， AC = b ，若用
( )2
2
2
2
2
a b = a 2a b + b = a 2a b + b
( ) ( ) 特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c ；
（2）消去律不成立 a b = a c 不能得到 b = c （3） a b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0
5、两个向量的数量积的坐标运算：
④向量
AB
+
AC
(
0) 所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平分线所在直线)；
AB
AC
⑤ OA = OB = OC O 是 ABC 的外心；
（4）向量 PA、PB、PC 中三终点 A、B、C 共线 存在实数、 使得 PA = PB + PC 且 + = 1 .
向量综合复习一
的夹角的取值范围是
.
10、把函数 y = 2x2 − 4x + 5 的图像按向量 a 平移，得到 y = 2x2 的图像，且 a ⊥ b
c = (1, −1) ， b c = 4 ，则 x +1) ， b = (1− x, t) ，若函数 f (x) = a b 在区间 (−1, 1) 上
2、位置向量：将向量的起点置于坐标原点，则该向量称为位置向量。
3、正交分解：若向量能表示成两个相互垂直的向量 i 、 j 分别乘以实数 x 、 y 后组成的和式，该和式称为
i 、 j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。
4、平面上任何一向量 a 都有与它相等的位置向量 OA ，所以向量 a 也都可以用基本单位向量 i 、 j 表示：
.
8、两个恒力 f1 = i + 2 j 、 f2 = 4i + 6 j 作用于同一质点，将点 A(20, 15) 移动到点
B(7, 0) ，则 f1 、 f2 的合力对质点所做的功的大小为
是增函数，则 t 的取值范围是
.
12、在同一个平面上有
ABC
及点
O
满足关系式：
2
OA
+BC
2
2
=OB
2
+CA
=OC
2
+
2
AB ，则 O 为 ABC 的
心.
13、已知 OFQ 的面积为 S ，且 OF 与 FQ 的数量积为1，若 1 ＜ S ＜ 2 ，向量 2
OF 与 FQ 的夹角 的取值范围是
.
14、已知向量 OP=(2, 1) ， OA=(1, 7) ， OB=(5, 1) ，设 X 是直线 OP 上的一点（ O
为坐标原点），当 XA XB 取得最小值时， AXB 的大小应为
.
15、设函数 f (x) = a b ，其中 a = (2cos x, 1) ， b = (cos x, 3 sin 2x + m) . 若
x 0,
6
，
f (x) ＜ 4 恒成立，则 m 的取值范围是
.
16、给定两个长度为1的平面向量 OA 和 OB ，它们的 夹角为120 ，如图 8-13-1 所示，点 C 在以 O 为 圆心的圆弧 AB 上移动. 若 OC = xOA + yOB ，其中
a = OA = xi + y j ，称该序实数对 ( x, y ) 为向量 a 的坐标，记作：a = ( x, y) ，它的模记为| a |= x2 + y2 。 5、设 P ( x1, y1 ) 、 Q ( x2, y2 ) ，则 PQ = OQ − OP = ( x2 − x1, y2 − y1 )
y) 在
y
= sin x 的图像
上运动，点 Q 在 y = f (x) 的图像上运动，且满足 OQ = m OP + n （其中 O
为坐标原点）. 求 y = f (x) 的最大值 A 及最小正周期T .
18、已知向量 a = (sin(x +), 2) ， b = (1, cos(x +)) （ ＞ 0 ， 0 ＜ ＜ ） 2
（1） ( x1, y1 ) ( x2, y2 ) = ( x1 x2, y1 y2 )
（2） ( x1, y1 ) = ( x1, y1 )
3、向量平行：已知 a 、b 为两个非零向量，且 a = ( x1, y1 ) ，b = ( x2, y2 ) ，则 a / /b 的充要条件是 x1y2 = x2 y1
x 、 y R ，则 x + y 的最大值是
.
图 8-13-1
17、设 a = (a1, a2 ) ， b = (b1, b2 ) . 定义一种向量积 a b = (a1, a2 )(b1, b2 ) =
( a1b1 ,
a2b2 ) ，已知 m
= 2, 1 ， n 2
=
3
,
0
，点
P(x,
已知 a = (x1, y1), b = (x2 , y2 ) ，则 a · b = x1x2 + y1 y2
6、向量数量积的性质：
（1） a ⊥ b a · b ＝O x1x2 + y1 y2 = 0
（2）当 a 与 b 同向时， a b =| a | | b |, 当 a 与 b 反向时， a b = − | a | | b |,
P1P2 所成的比的 值为
.
4、 AD 、 BE 分别为 ABC 的中线，若 AD = a ， BE = b ，用 a 、 b 表示向量
AB =
.
5、若 a = 5 ， b = 4 ， a − b = 8 ，则 a + b =