第一章 集合与函数概念
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法 课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．
函数的三种表示法
(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系；
(2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系；
(3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．
一、选择题
1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )
A ．y ＝50x (x >0)
B ．y ＝100x (x >0)
C ．y ＝50x (x >0)
D ．y ＝100x
(x >0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点
到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．如果f (1x )＝x 1－x
，则当x ≠0时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1
C.11－x
D.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )
A ．2x ＋1
B ．2x －1
C ．2x －3
D ．2x ＋7
5．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12
)的值为( )
A ．1
B ．15
C ．4
D ．30
6．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x
＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案 二、填空题
7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________．
8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x
)＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．
三、解答题
10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．
11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；
(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小；
(3)求函数f (x )的值域．
能力提升
12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·
时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )
A ．y ＝[x 10]
B ．y ＝[x ＋310
] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510
] 13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．
1．如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．
2．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
第一章 集合与函数概念
1．2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
知识梳理
(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格
作业设计
1．C [由x ＋3x 2
·y ＝100，得2xy ＝100. ∴y ＝50x
(x >0)．] 2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]
3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x 1－x
， 则有f (t )＝1t 1－1t
＝1t －1，故选B.] 4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.]
5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14
， ∴f (12)＝1－(14)2(14
)2＝15.] 6．B [当t <0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t >0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12
)．所以B 满足要求．] 7．y ＝12
x ＋12 解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12
. 所以所求的函数解析式为y ＝12
x ＋12. 8．f (x )＝－x 2＋23x
(x ≠0) 解析 ∵f (x )＝2f (1x
)＋x ，① ∴将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x
.② 由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x 3
， 即f (x )＝－x 2＋23x
(x ≠0)． 9．f (x )＝2x ＋83
或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝－8. 10．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
由f (0)＝f (4)知⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，
f (0)＝f (4)，
得4a ＋b ＝0.①
又图象过(0,3)点，
所以c ＝3.②
设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2，
则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a
. 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a
＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③
由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3.
11．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：
x … －2 －1
0 1 2 3 4 … y … －5 0 3 4 3 0 －5
…
连线，描点，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，
所以f (3)<f (0)<f (1)．
(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．
(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.
方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，
[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10
]， 当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x 10
]＋1， 所以选B.]
13．解 因为对任意实数x ，y ，有
f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，
所以令y ＝x ，
有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，
即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1，
∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。