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高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题附答案解析

高一数学必修一 集合与函数的概念单元测试 附答案解析(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合M ={x |x 2+2x =0,x ∈R },N ={x |x 2-2x =0,x ∈R },则M ∪N =( ) A .{0} B .{0,2} C .{-2,0} D .{-2,0,2}2.设f :x →|x |是集合A 到集合B 的映射,若A ={-2,0,2},则A ∩B =( ) A .{0} B .{2} C .{0,2} D .{-2,0}3.f (x )是定义在R 上的奇函数,f (-3)=2,则下列各点在函数f (x )图象上的是( ) A .(3,-2) B .(3,2) C .(-3,-2) D .(2,-3)4.已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( ) A .1 B .3 C .5 D .95.若函数f (x )满足f (3x +2)=9x +8,则f (x )的解析式是( )A .f (x )=9x +8B .f (x )=3x +2C .f (x )=-3x -4D .f (x )=3x +2或f (x )=-3x -4 6.设f (x )=⎩⎨⎧x +3 (x >10),f (x +5) (x ≤10),则f (5)的值为( )A .16B .18C .21D .247.设T ={(x ,y )|ax +y -3=0},S ={(x ,y )|x -y -b =0},若S ∩T ={(2,1)},则a ,b 的值为( )A .a =1,b =-1B .a =-1,b =1C .a =1,b =1D .a =-1,b =-18.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( )A .(-1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-12 C .(-1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,19.已知A ={0,1},B ={-1,0,1},f 是从A 到B 映射的对应关系,则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A .3个 B .4个 C .5个D .6个10.定义在R 上的偶函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有(x 2-x 1)[f (x 2)-f (x 1)]>0,则当n ∈N *时,有( )A .f (-n )<f (n -1)<f (n +1)B .f (n -1)<f (-n )<f (n +1)C .f (n +1)<f (-n )<f (n -1)D .f (n +1)<f (n -1)<f (-n ) 11.函数f (x )是定义在R 上的奇函数,下列说法:①f (0)=0; ②若f (x )在[0,+∞)上有最小值为-1,则f (x )在(-∞,0]上有最大值为1;③若f (x )在[1,+∞)上为增函数,则f (x )在(-∞,-1]上为减函数;④若x >0时,f (x )=x 2-2x ,则x <0时,f (x )=-x 2-2x .其中正确说法的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个12.f (x )满足对任意的实数a ,b 都有f (a +b )=f (a )·f (b )且f (1)=2,则f (2)f (1)+f (4)f (3)+f (6)f (5)+…+f (2014)f (2013)=( )A .1006B .2014C .2012D .1007二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.函数y =x +1x 的定义域为________.14.f (x )=⎩⎨⎧x 2+1 (x ≤0),-2x (x >0),若f (x )=10,则x =________.15.若函数f (x )=(x +a )(bx +2a )(常数a ,b ∈R )是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f (x )=________.16.在一定范围内,某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系,如果购买1000吨,每吨为800元,购买2000吨,每吨为700元,那么客户购买400吨,单价应该是________元.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知集合A ={x |2≤x ≤8},B ={x |1<x <6},C ={x |x >a },U =R . (1)求A ∪B ,(∁U A )∩B ;(2)若A ∩C ≠∅,求a 的取值范围.18.(本小题满分12分)设函数f (x )=1+x 21-x 2.(1)求f (x )的定义域; (2)判断f (x )的奇偶性;(3)求证:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +f (x )=0.19.(本小题满分12分)已知y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-2x . (1)求当x <0时,f (x )的解析式;(2)作出函数f (x )的图象,并指出其单调区间.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2x +1x +1, (1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论. (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )为增函数,f (x ·y )=f (x )+f (y ).(1)求证:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y =f (x )-f (y );(2)若f (3)=1,且f (a )>f (a -1)+2,求a 的取值范围.22.(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x (元)与日销售量y (件)之间有如下表所示的关系:(1)在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对(x,y)的对应点,并确定y与x的一个函数关系式.(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系,写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?1.解析 M ={x |x (x +2)=0.,x ∈R }={0,-2},N ={x |x (x -2)=0,x ∈R }={0,2},所以M ∪N ={-2,0,2}.答案 D2. 解析 依题意,得B ={0,2},∴A ∩B ={0,2}.答案 C3. 解析 ∵f (x )是奇函数,∴f (-3)=-f (3).又f (-3)=2,∴f (3)=-2,∴点(3,-2)在函数f (x )的图象上.答案 A4. 解析 逐个列举可得.x =0,y =0,1,2时,x -y =0,-1,-2;x =1,y =0,1,2时,x -y =1,0,-1;x =2,y =0,1,2时,x -y =2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为-2,-1,0,1,2.共5个.答案 C5. 解析 ∵f (3x +2)=9x +8=3(3x +2)+2,∴f (x )=3x +2.答案 B6. 解析 f (5)=f (5+5)=f (10)=f (15)=15+3=18.答案 B7. 解析 依题意可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2a +1-3=0,2-1-b =0,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =1.答案 C8. 解析 由-1<2x +1<0,解得-1<x <-12,故函数f (2x +1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫-1,-12.答案 B 9. 解析 当f (0)=1时,f (1)的值为0或-1都能满足f (0)>f (1);当f (0)=0时,只有f (1)=-1满足f (0)>f (1);当f (0)=-1时,没有f (1)的值满足f (0)>f (1),故有3个.答案 A10.解析 由题设知,f (x )在(-∞,0]上是增函数,又f (x )为偶函数,∴f (x )在[0,+∞)上为减函数. ∴f (n +1)<f (n )<f (n -1). 又f (-n )=f (n ),∴f (n +1)<f (-n )<f (n -1). 答案 C11. 解析 ①f (0)=0正确;②也正确;③不正确,奇函数在对称区间上具有相同的单调性;④正确. 答案 C12. 解析 因为对任意的实数a ,b 都有f (a +b )=f (a )·f (b )且f (1)=2,由f (2)=f (1)·f (1),得f (2)f (1)=f (1)=2,由f (4)=f (3)·f (1),得f (4)f (3)=f (1)=2, ……由f (2014)=f (2013)·f (1),得f (2014)f (2013)=f (1)=2, ∴f (2)f (1)+f (4)f (3)+f (6)f (5)+…+f (2014)f (2013)=1007×2=2014. 答案 B13. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥1,x ≠0得函数的定义域为{x |x ≥-1,且x ≠0}.答案 {x |x ≥-1,且x ≠0}14. 解析 当x ≤0时,x 2+1=10,∴x 2=9,∴x =-3.当x >0时,-2x =10,x =-5(不合题意,舍去). ∴x =-3. 答案 -315. 解析 f (x )=(x +a )(bx +2a )=bx 2+(2a +ab )x +2a 2为偶函数,则2a +ab =0,∴a =0,或b =-2.又f (x )的值域为(-∞,4],∴a ≠0,b =-2,∴2a 2=4. ∴f (x )=-2x 2+4. 答案 -2x 2+416. 解析 设一次函数y =ax +b (a ≠0),把⎩⎪⎨⎪⎧x =800,y =1000,和⎩⎪⎨⎪⎧ x =700,y =2000,代入求得⎩⎪⎨⎪⎧a =-10,b =9000. ∴y =-10x +9000,于是当y =400时,x =860. 答案 86017. 解 (1)A ∪B ={x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}={x |1<x ≤8}. ∁U A ={x |x <2,或x >8}. ∴(∁U A )∩B ={x |1<x <2}. (2)∵A ∩C ≠∅,∴a <8.18. 解 (1)由解析式知,函数应满足1-x 2≠0,即x ≠±1.∴函数f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠±1}. (2)由(1)知定义域关于原点对称,f (-x )=1+(-x )21-(-x )2=1+x 21-x2=f (x ).∴f (x )为偶函数.(3)证明:∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2=x 2+1x 2-1,f (x )=1+x 21-x2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +f (x )=x 2+1x 2-1+1+x 21-x 2 =x 2+1x 2-1-x 2+1x 2-1=0. 19. 解 (1)当x <0时,-x >0,∴f (-x )=(-x )2-2(-x )=x 2+2x . 又f (x )是定义在R 上的偶函数, ∴f (-x )=f (x ).∴当x <0时,f (x )=x 2+2x .(2)由(1)知,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x (x ≥0),x 2+2x (x <0).作出f (x )的图象如图所示:由图得函数f (x )的递减区间是(-∞,-1],[0,1]. f (x )的递增区间是[-1,0],[1,+∞).20. 解 (1)函数f (x )在[1,+∞)上是增函数.证明如下:任取x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1<x 2, f (x 1)-f (x 2)=2x 1+1x 1+1-2x 2+1x 2+1=x 1-x 2(x 1+1)(x 2+1),∵x 1-x 2<0,(x 1+1)(x 2+1)>0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[1,+∞)上是增函数.(2)由(1)知函数f (x )在[1,4]上是增函数,最大值f (4)=95,最小值f (1)=32. 21. 解 (1)证明:∵f (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ·y =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y +f (y ),(y ≠0) ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y =f (x )-f (y ). (2)∵f (3)=1,∴f (9)=f (3·3)=f (3)+f (3)=2. ∴f (a )>f (a -1)+2=f (a -1)+f (9)=f [9(a -1)]. 又f (x )在定义域(0,+∞)上为增函数, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a -1>0,a >9(a -1),∴1<a <98.22. 解 (1)由题表作出(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)的对应点,它们近似地分布在一条直线上,如图所示.设它们共线于直线y =kx +b ,则⎩⎪⎨⎪⎧ 50k +b =0,45k +b =15,⇒⎩⎪⎨⎪⎧k =-3,b =150.∴y =-3x +150(0≤x ≤50,且x ∈N *),经检验(30,60),(40,30)也在此直线上. ∴所求函数解析式为y =-3x +150(0≤x ≤50,且x ∈N *). (2)依题意P =y (x -30)=(-3x +150)(x -30)=-3(x -40)2+300.∴当x =40时,P 有最大值300,故销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润.。

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