2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合S={x|(x﹣2)(x﹣3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(﹣∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)2.(5分)若z=1+2i,则=()A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i3.(5分)已知向量=(,),=(,),则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°4.(5分)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃,下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个5.(5分)若tanα=,则cos2α+2sin2α=()A.B.C.1 D.6.(5分)已知a=,b=,c=,则()A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b7.(5分)执行如图程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=()A.3 B.4 C.5 D.68.(5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=()A.B.C.﹣D.﹣9.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36B.54+18C.90 D.8110.(5分)在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB. C.6πD.11.(5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.12.(5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m 项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为.14.(5分)函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到.15.(5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(﹣x)+3x,则曲线y=f (x)在点(1,﹣3)处的切线方程是.16.(5分)已知直线l:mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ.18.(12分)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以证明;(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:y i=9.32,t i y i=40.17,=0.55,≈2.646.参考公式:r=,回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=﹣.19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.20.(12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.21.(12分)设函数f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A.(Ⅰ)求f′(x);(Ⅱ)求A;(Ⅲ)证明:|f′(x)|≤2A.请考生在第22-24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10分)如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明:OG⊥CD.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2016•新课标Ⅲ)设集合S={x|(x﹣2)(x﹣3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(﹣∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)【分析】求出S中不等式的解集确定出S,找出S与T的交集即可.【解答】解:由S中不等式解得:x≤2或x≥3,即S=(﹣∞,2]∪[3,+∞),∵T=(0,+∞),∴S∩T=(0,2]∪[3,+∞),故选:D.2.(5分)(2016•新课标Ⅲ)若z=1+2i,则=()A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则,化简求解即可.【解答】解:z=1+2i,则===i.故选:C.3.(5分)(2016•新课标Ⅲ)已知向量=(,),=(,),则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°【分析】根据向量的坐标便可求出,及的值,从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值,根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值.【解答】解:,;∴;又0°≤∠ABC≤180°;∴∠ABC=30°.故选A.4.(5分)(2016•新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃,下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可.【解答】解:A.由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上,正确B.七月的平均温差大约在10°左右,一月的平均温差在5°左右,故七月的平均温差比一月的平均温差大,正确C.三月和十一月的平均最高气温基本相同,都为10°,正确D.平均最高气温高于20℃的月份有7,8两个月,故D错误,故选:D5.(5分)(2016•新课标Ⅲ)若tanα=,则cos2α+2sin2α=()A.B.C.1 D.【分析】将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α),再将“弦”化“切”即可得到答案.【解答】解:∵tanα=,∴cos2α+2sin2α====.故选:A.6.(5分)(2016•新课标Ⅲ)已知a=,b=,c=,则()A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b【分析】b==,c==,结合幂函数的单调性,可比较a,b,c,进而得到答案.【解答】解:∵a==,b=,c==,综上可得:b<a<c,故选A7.(5分)(2016•新课标Ⅲ)执行如图程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=()A.3 B.4 C.5 D.6【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a,b,s,n的值,当s=20时满足条件s>16,退出循环,输出n的值为4.【解答】解:模拟执行程序,可得a=4,b=6,n=0,s=0执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=6,n=1不满足条件s>16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=10,n=2不满足条件s>16,执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=16,n=3不满足条件s>16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=20,n=4满足条件s>16,退出循环,输出n的值为4.故选:B.8.(5分)(2016•新课标Ⅲ)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=()A.B.C.﹣D.﹣【分析】作出图形,令∠DAC=θ,依题意,可求得cosθ===,sinθ=,利用两角和的余弦即可求得答案.【解答】解:设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c,AD⊥BC于D,令∠DAC=θ,∵在△ABC中,B=,BC边上的高AD=h=BC=a,∴BD=AD=a,CD=a,在Rt△ADC中,cosθ===,故sinθ=,∴cosA=cos(+θ)=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣.故选:C.9.(5分)(2016•新课标Ⅲ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36B.54+18C.90 D.81【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱,进而得到答案.【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱,其底面面积为:3×6=18,前后侧面的面积为:3×6×2=36,左右侧面的面积为:3××2=18,故棱柱的表面积为:18+36+9=54+18.故选:B.10.(5分)(2016•新课标Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V 的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB. C.6πD.【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为,代入球的体积公式,可得答案.【解答】解:∵AB⊥BC,AB=6,BC=8,∴AC=10.故三角形ABC的内切圆半径r==2,又由AA1=3,故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为,此时V的最大值=,故选:B11.(5分)(2016•新课标Ⅲ)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.【分析】由题意可得F,A,B的坐标,设出直线AE的方程为y=k(x+a),分别令x=﹣c,x=0,可得M,E的坐标,再由中点坐标公式可得H的坐标,运用三点共线的条件:斜率相等,结合离心率公式,即可得到所求值.【解答】解:由题意可设F(﹣c,0),A(﹣a,0),B(a,0),令x=﹣c,代入椭圆方程可得y=±b=±,可得P(﹣c,±),设直线AE的方程为y=k(x+a),令x=﹣c,可得M(﹣c,k(a﹣c)),令x=0,可得E(0,ka),设OE的中点为H,可得H(0,),由B,H,M三点共线,可得k BH=k BM,即为=,化简可得=,即为a=3c,可得e==.故选:A.12.(5分)(2016•新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个【分析】由新定义可得,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,当m=4时,数列中有四个0和四个1,然后一一列举得答案.【解答】解:由题意可知,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,若m=4,说明数列有8项,满足条件的数列有:0,0,0,0,1,1,1,1;0,0,0,1,0,1,1,1;0,0,0,1,1,0,1,1;0,0,0,1,1,1,0,1;0,0,1,0,0,1,1,1;0,0,1,0,1,0,1,1;0,0,1,0,1,1,0,1;0,0,1,1,0,1,0,1;0,0,1,1,0,0,1,1;0,1,0,0,0,1,1,1;0,1,0,0,1,0,1,1;0,1,0,0,1,1,0,1;0,1,0,1,0,0,1,1;0,1,0,1,0,1,0,1.共14个.故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)(2016•新课标Ⅲ)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为.【分析】首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在y轴的截距最大值.【解答】解:不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z最大,由得D(1,),所以z=x+y的最大值为1+;故答案为:.14.(5分)(2016•新课标Ⅲ)函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到.【分析】令f(x)=sinx+cosx=2sin(x+),则f(x﹣φ)=2sin(x+﹣φ),依题意可得2sin(x+﹣φ)=2sin(x﹣),由﹣φ=2kπ﹣(k∈Z),可得答案.【解答】解:∵y=f(x)=sinx+cosx=2sin(x+),y=sinx﹣cosx=2sin(x﹣),∴f(x﹣φ)=2sin(x+﹣φ)(φ>0),令2sin(x+﹣φ)=2sin(x﹣),则﹣φ=2kπ﹣(k∈Z),即φ=﹣2kπ(k∈Z),当k=0时,正数φmin=,故答案为:.15.(5分)(2016•新课标Ⅲ)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(﹣x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,﹣3)处的切线方程是2x+y+1=0.【分析】由偶函数的定义,可得f(﹣x)=f(x),即有x>0时,f(x)=lnx﹣3x,求出导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程.【解答】解:f(x)为偶函数,可得f(﹣x)=f(x),当x<0时,f(x)=ln(﹣x)+3x,即有x>0时,f(x)=lnx﹣3x,f′(x)=﹣3,可得f(1)=ln1﹣3=﹣3,f′(1)=1﹣3=﹣2,则曲线y=f(x)在点(1,﹣3)处的切线方程为y﹣(﹣3)=﹣2(x﹣1),即为2x+y+1=0.故答案为:2x+y+1=0.16.(5分)(2016•新课标Ⅲ)已知直线l:mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|= 4.【分析】先求出m,可得直线l的倾斜角为30°,再利用三角函数求出|CD|即可.【解答】解:由题意,|AB|=2,∴圆心到直线的距离d=3,∴=3,∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°,∵过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,∴|CD|==4.故答案为:4.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)(2016•新课标Ⅲ)已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0.(1)证明{a n}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ.【分析】(1)根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推,结合等比数列的定义进行证明求解即可.(2)根据条件建立方程关系进行求解就可.【解答】解:(1)∵S n=1+λa n,λ≠0.∴a n≠0.当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1,即(λ﹣1)a n=λa n﹣1,∵λ≠0,a n≠0.∴λ﹣1≠0.即λ≠1,即=,(n≥2),∴{a n}是等比数列,公比q=,当n=1时,S1=1+λa1=a1,即a1=,∴a n=•()n﹣1.(2)若S5=,则若S5=1+λ(•()4=,即()5=﹣1=﹣,则=﹣,得λ=﹣1.18.(12分)(2016•新课标Ⅲ)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以证明;(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:y i=9.32,t i y i=40.17,=0.55,≈2.646.参考公式:r=,回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=﹣.【分析】(1)由折线图看出,y与t之间存在较强的正相关关系,将已知数据代入相关系数方程,可得答案;(2)根据已知中的数据,求出回归系数,可得回归方程,2016年对应的t值为9,代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.【解答】解:(1)由折线图看出,y与t之间存在较强的正相关关系,理由如下:∵r==≈≈≈0.993,∵0.993>0.75,故y与t之间存在较强的正相关关系;(2)==≈≈0.103,=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92,∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92,2016年对应的t值为9,故=0.10×9+0.92=1.82,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨.19.(12分)(2016•新课标Ⅲ)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD ∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【分析】(1)法一、取PB中点G,连接AG,NG,由三角形的中位线定理可得NG∥BC,且NG=,再由已知得AM∥BC,且AM=BC,得到NG∥AM,且NG=AM,说明四边形AMNG为平行四边形,可得NM∥AG,由线面平行的判定得到MN∥平面PAB;法二、证明MN∥平面PAB,转化为证明平面NEM∥平面PAB,在△PAC中,过N作NE⊥AC,垂足为E,连接ME,由已知PA⊥底面ABCD,可得PA∥NE,通过求解直角三角形得到ME∥AB,由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB,则结论得证;(2)连接CM,证得CM⊥AD,进一步得到平面PNM⊥平面PAD,在平面PAD 内,过A作AF⊥PM,交PM于F,连接NF,则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角.然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【解答】(1)证明:法一、如图,取PB中点G,连接AG,NG,∵N为PC的中点,∴NG∥BC,且NG=,又AM=,BC=4,且AD∥BC,∴AM∥BC,且AM=BC,则NG∥AM,且NG=AM,∴四边形AMNG为平行四边形,则NM∥AG,∵AG⊂平面PAB,NM⊄平面PAB,∴MN∥平面PAB;法二、在△PAC中,过N作NE⊥AC,垂足为E,连接ME,在△ABC中,由已知AB=AC=3,BC=4,得cos∠ACB=,∵AD∥BC,∴cos,则sin∠EAM=,在△EAM中,∵AM=,AE=,由余弦定理得:EM==,∴cos∠AEM=,而在△ABC中,cos∠BAC=,∴cos∠AEM=cos∠BAC,即∠AEM=∠BAC,∴AB∥EM,则EM∥平面PAB.由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AC,又NE⊥AC,∴NE∥PA,则NE∥平面PAB.∵NE∩EM=E,∴平面NEM∥平面PAB,则MN∥平面PAB;(2)解:在△AMC中,由AM=2,AC=3,cos∠MAC=,得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=.∴AM2+MC2=AC2,则AM⊥MC,∵PA⊥底面ABCD,PA⊂平面PAD,∴平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD,∴CM⊥平面PAD,则平面PNM⊥平面PAD.在平面PAD内,过A作AF⊥PM,交PM于F,连接NF,则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角.在Rt△PAC中,由N是PC的中点,得AN==,在Rt△PAM中,由PA•AM=PM•AF,得AF=,∴sin.∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.20.(12分)(2016•新课标Ⅲ)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.【分析】(Ⅰ)连接RF,PF,利用等角的余角相等,证明∠PRA=∠PQF,即可证明AR∥FQ;(Ⅱ)利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求出N的坐标,利用点差法求AB中点的轨迹方程.【解答】(Ⅰ)证明:连接RF,PF,由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°,∴∠PFQ=90°,∵R是PQ的中点,∴RF=RP=RQ,∴△PAR≌△FAR,∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR,∴∠FQB=∠PAR,∴∠PRA=∠PQF,∴AR∥FQ.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),F(,0),准线为x=﹣,S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|,设直线AB与x轴交点为N,∴S=|FN||y1﹣y2|,△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,∴2|FN|=1,∴x N=1,即N(1,0).设AB中点为M(x,y),由得=2(x1﹣x2),又=,∴=,即y2=x﹣1.∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1.21.(12分)(2016•新课标Ⅲ)设函数f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1),其中a >0,记|f(x)|的最大值为A.(Ⅰ)求f′(x);(Ⅱ)求A;(Ⅲ)证明:|f′(x)|≤2A.【分析】(Ⅰ)根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′(x);(Ⅱ)讨论a的取值,利用分类讨论的数学,结合换元法,以及一元二次函数的最值的性质进行求解;(Ⅲ)由(I),结合绝对值不等式的性质即可证明:|f′(x)|≤2A.【解答】(I)解:f′(x)=﹣2asin2x﹣(a﹣1)sinx.(II)当a≥1时,|f(x)|=|acos2x+(a﹣1)(cosx+1)|≤a|cos2x|+(a﹣1)|(cosx+1)|≤a|cos2x|+(a﹣1)(|cosx|+1)|≤a+2(a﹣1)=3a﹣2=f(0),因此A=3a﹣2.当0<a<1时,f(x)等价为f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1)=2acos2x+(a﹣1)cosx﹣1,令g(t)=2at2+(a﹣1)t﹣1,则A是|g(t)|在[﹣1,1]上的最大值,g(﹣1)=a,g(1)=3a﹣2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g()=﹣﹣1=﹣,(二次函数在对称轴处取得极值)令﹣1<<1,得a<(舍)或a>.因此A=3a﹣2①当0<a≤时,g(t)在(﹣1,1)内无极值点,|g(﹣1)|=a,|g(1)|=2﹣3a,|g(﹣1)|<|g(1)|,∴A=2﹣3a,②当<a<1时,由g(﹣1)﹣g(1)=2(1﹣a)>0,得g(﹣1)>g(1)>g(),又|g()﹣g(﹣1)|=>0,∴A=|g()|=,综上,A=.(III)证明:由(I)可得:|f′(x)|=|﹣2asin2x﹣(a﹣1)sinx|≤2a+|a﹣1|,当0<a≤时,|f′(x)|≤1+a≤2﹣4a<2(2﹣3a)=2A,当<a<1时,A==++≥1,∴|f′(x)|≤1+a≤2A,当a≥1时,|f′(x)|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A,综上:|f′(x)|≤2A.请考生在第22-24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]22.(10分)(2016•新课标Ⅲ)如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明:OG⊥CD.【分析】(1)连接PA,PB,BC,设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3,∠PBA=∠4,∠PAB=∠5,运用圆的性质和四点共圆的判断,可得E,C,D,F共圆,再由圆内接四边形的性质,即可得到所求∠PCD的度数;(2)运用圆的定义和E,C,D,F共圆,可得G为圆心,G在CD的中垂线上,即可得证.【解答】(1)解:连接PB,BC,设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3,∠PBA=∠4,∠PAB=∠5,由⊙O中的中点为P,可得∠4=∠5,在△EBC中,∠1=∠2+∠3,又∠D=∠3+∠4,∠2=∠5,即有∠2=∠4,则∠D=∠1,则四点E,C,D,F共圆,可得∠EFD+∠PCD=180°,由∠PFB=∠EFD=2∠PCD,即有3∠PCD=180°,可得∠PCD=60°;(2)证明:由C,D,E,F共圆,由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心,即有GC=GD,则G在CD的中垂线,又CD为圆G的弦,则OG⊥CD.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.(2016•新课标Ⅲ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【分析】(1)运用两边平方和同角的平方关系,即可得到C1的普通方程,运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及两角和的正弦公式,化简可得C2的直角坐标方程;(2)由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值.设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0,代入椭圆方程,运用判别式为0,求得t,再由平行线的距离公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐标.【解答】解:(1)曲线C1的参数方程为(α为参数),移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1,即有椭圆C1:+y2=1;曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2,即有ρ(sinθ+cosθ)=2,由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x+y﹣4=0,即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0;(2)由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值.设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0,联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0,由直线与椭圆相切,可得△=36t2﹣16(3t2﹣3)=0,解得t=±2,显然t=﹣2时,|PQ|取得最小值,即有|PQ|==,此时4x2﹣12x+9=0,解得x=,即为P(,).[选修4-5:不等式选讲]24.(2016•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.【分析】(1)当a=2时,由已知得|2x﹣2|+2≤6,由此能求出不等式f(x)≤6的解集.(2)由f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,得|x﹣|+|x﹣|≥,由此能求出a的取值范围.【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=|2x﹣2|+2,∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6,|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2,∴﹣2≤x﹣1≤2,解得﹣1≤x≤3,∴不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}.(2)∵g(x)=|2x﹣1|,∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3,|x﹣|+|x﹣|≥,当a≥3时,成立,当a<3时,|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥>0,∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2,解得2≤a<3,∴a的取值范围是[2,+∞).。