向量知识点归纳与常见题型总结一、向量知识点归纳1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小. 记号“a＞b”错了，而| a | ＞ | b | 才有意义 .⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时，可平移向量 . ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量⑷单位向量是模为 1 的向量，其坐标表示为（x, y ）,其中 x 、y满足x2y2＝1（可用（ cos ,sin）（ 0≤≤2π）表示） . 特别：AB表示与 AB 同向的单位向量。
|AB|例如：向量直线)；( ABAC)(0) 所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在|AB||AC|例 1、O是平面上一个定点， A、B、C不共线，P 满足OPOA(AB AC )[0,).|AB|| AC则点 P 的轨迹一定通过三角形的内心。
→→→→→→→1AB+AC AB·AC=, 则△ABC 为()(变式 )已知非零向量 AB 与 AC 满足 (→→)·BC=0 且→→2|AB ||AC ||AB ||AC |A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形(06 陕西 )⑸ 0 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0 仅仅是一个无方向的实数 .⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.（ 7）相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－ a 。
)2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量. （三角形法则和平行四边形法则）①当两个向量 a 和 b 不共线时， a b 的方向与 a 、b 都不相同，且| a b |＜| a |＋| b |；②当两个向量 a 和 b 共线且同向时， a b 、a 、b 的方向都相同，且 | a b || a || b |；③当向量 a 和 b 反向时，若| a |＞| b |， a b 与 a 方向相同，且 |a b |=| a |-| b |；若 | a | ＜ | b | 时 , a b 与 b方向相同，且 | a＋b |=| b |-| a |.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。
AB BC AC;AB AC CB例 2： P 是三角形 ABC 内任一点，若CB PA PB,R ，则P一定在（）A 、 ABC 内部B 、 AC 边所在的直线上C 、AB 边上D 、BC 边上例 3、若20，则△ ABC 是： A.RtAB BCAB△ B. 锐角△ C. 钝角△ D. 等腰 Rt △·例 4、已知向量 a(cos ,sin ), b ( 3, 1) ，求 | 2a b | 的最大值。
分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。
解：原式 = | (2 cos 3,2sin1) | ( 2 cos3) 2 (2 sin 1) 2= 8 8sin() 。
当且仅当 2k5 (k Z ) 时， | 2ab | 有最大值 4.36评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式 “ || a | | b || | a b | | a | | b |”就显得简洁明快。
原式 | 2a | | b |= 2 | a | | b | 2 1 24 ，但要注意等号成立的条件（向量同向）。
⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量 .如， AB BCCA0 , （在△ ABC 中） AB BC CDDA0 .( □ABCD 中 ) ⑷判定两向量共线的注意事项： 共线向量定理 对空间任意两个向量 a 、b(b ≠ 0 ) ，a ∥ b 存在实数λ使 a=λ b ．如果两个非零向量 a ， b ，使 a =λ b （ λ ∈ R ），那么 a ∥ b ；反之，如 a ∥ b ，且 b ≠ 0，那么 a =λ b .这里在 “反之” 中，没有指出 a 是非零向量， 其原因为 a =0 时，与λ b 的方向规定为平行 . ⑸数量积的 8 个重要性质①两向量的夹角为0≤ ≤ π . 由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数 .②设 a 、 b 都是非零向量，e 是单位向量， 是 a 与 b 的夹角，则e aa e | a | cos .( | e | 1)③ aba b0 （∵=90°， cos0)④在实数运算中 ab =0a =0 或 b=0. 而在向量运算中 ab = 0 a =0 或 b = 0 是错误的，故 a0 或 b 0 是 a b =0 的充分而不必要条件 .⑤当 a 与 b 同向时 a b =| a | | b |(=0,cos=1);当 a 与 b 反向时， ab =- | a | | b |( =π ,cos =-1) ，即 a ∥ b 的另一个充要条件是| a b | | a | | b |. 当 为锐角时， a b ＞ 0，且 a 、b 不同向， a b 0 是为锐角的必要非充分条件 ；当 为钝角时， ab ＜ 0，且 a 、b 不反向， a b 0 是为钝角的必要非充分条件 ；例 5. 如已知 a ( ,2 ) ， b (3 ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：4 0 且 1或 ）；3 3例 6、已知 i , j 为相互垂直的单位向量， ai 2 j ，b ij 。
且 a 与 b 的夹角为锐角，求实数的取值范围。
分析：由数量积的定义易得“ a, b a b 0 ”，但要注意问题的等价性。
解：由 a 与 b 的夹角为锐角，得a b 120. 有 1 .t 12而当 at b(t 0), 即两向量同向共线时，有得2. 此时其夹角不为锐角。
t2故, 212, .2评析：特别提醒的是：a, b 是锐角与 a b 0 不等价； 同样 a,b 是钝角与 a b 0不等价。
极易疏忽特例“共线” 。
特殊情况有 a a2222y 2a =| a | 。
或 | a | = a a = a = x.如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x 1 , y 1 ),(x 2 , y 2 ), 则| a | = ( x 1x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2⑥ | a b | | a | | b |。
（因 cos1）⑦数量积不适合乘法结合律.如 (a b) c a (b c).（因为 (a b) c 与 c 共线，而 a (b c) 与 a 共线） ⑧数量积的消去律不成立.若 a 、 b 、 c 是非零向量且a cb c 并不能得到 a b 这是因为向量不能作除数，即 1是无意义的 .c(6) 向量 b 在 a 方向上的投影︱ b ︱ cos＝aba(7) e 和 e 是平面一组基底 , 则该平面任一向量a1e2e ( 1 , 2唯一)1212特别：. OP ＝1OA 2 OB 则 1 2 是三点 P 、 A 、 B 共线的充要条件 .1注意：起点相同，系数和是 1。
基底一定不共线例 7、已知等差数列｛nn 项和为 S n ，若1a ｝的前BO ＝a 1 OA ＋a 200 OC ，且 A 、 B 、CO ），则 S 200＝（ 2三点共线（该直线不过点）A ． 50B. 51C.100D.101例 8、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1) , B( 1,3) ,若点 C 满足OC1 OA2OB ,其中1 ,2R且121,则点 C 的轨迹是 _______ AB（直线 ）例 9、已知点 A,,B,C 的坐标分别是(3,1), (5,2), (2t ,2 t ) .若存在实数 ,使 OC OA (1)OB ,则 t 的值是 :A. 0 B. 1C.0或1D. 不确定例 10 下列条件中，能确定三点A, B, P 不共线 的是：．．．A ．MP sin 2 20 MA cos 2 20 MB B ． MP sec 2 20 MA tan 2 20 MBC ． MPsin 2 20 MA cos 2 70 MBD ． MPcsc 2 31 MA cot 2 31 MB分析：本题应知：“ A,B,P 共线，等价于存在 ,R,使 MPMAMB 且1 ”。
(8) ① 在ABC 中， PG1(PAPB PC)G 为ABC 的重心，特别地31PA PB PC 0P 为 ABC 的重心； ABBCAD 则 AD 过三角形的重心 ；2例 11、设平面向量 a 、a 、a 的和 aa a0 。
如果向量 b 、b 、b ，满足 b 2 a ，123 123123ii且 a 顺时针旋转 30o后与 b 同向，其中 i1,2,3 ，则（ D ）（ 06 河南高考）iiA ． b b b 0Bb b b 01 2 3123C ． b b b 0D． b b b 0123123②PA PB PB PC PC PAP 为 ABC 的垂心；③向量( ABAC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心 (BAC 的角分线所在直线 ) ；|AB||AC |④|AB|PC |BC | PA | CA| PBP ABC 的内心； ( 选 )⑤S ⊿ AOB ＝ 1x A y B x B y A ;2例12、若 O 是 ABC 所在平面内一点， 且满足 OB OCOB OC 2OA ，则ABC的形状为 ____（答：直角三角形） ；例 13、若 D 为ABC 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点 P ，满足P AB PC P0，设|AP| ，则的值为 ___（答： 2）；|PD|例 14、若点 O 是 △ABC 的外心，且 OA OB CO0 ，则内角 C 为 ____ （答： 120 ）；(9)、 P 分PP的比为, 则P P =P P,＞ 0 内分 ;＜ 0 且 ≠-1外分 .1 212OP ＝OP1OP2 ;若λ＝1 则 OP ＝ 1( OP 1+OP 2 ); 设 P(x,y),P 1(x 1,y 1),12x x 1x 2 ,x x 1 x 2,x x 1 x 2 x 3 ,123P 2 (x 2,y 2) 则; 中点 重心yy 1 y 2 .yy 1 y 2 . y y 1 y 2 y 3 .12 3说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点， 分母是分点至终点， 不能改变顺序和 分子分母的位置。