y2 •设作者选择A、B两家出版社所得的报酬分别为 y1 ， （单位：元），销售量为 n册，书的定价为 p 元∕本。
二、模型的分析与建立
出版社给作家的报酬 y（单位：元）为版税与稿酬之和。
出版社A给作家的稿酬为：
6% n p, 0 n 3000 y1 8% n-3000 p 2 n 300 6% 3000 p, n 3000
将问题中的已知数据代入模型，得
I 5.5%-3% x 100 3%
2.5% x 3 0 x 100
问题（2）
由问题（1）建立的模型可以看出来，老人的年收入 I 与购 买公司债券的金额 x 万元有关。已知年收入 I 4.5万元，要 求投资公司债券的金额 x 。

4.模型求解。
应当借助 计算Байду номын сангаас 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
数学建模流程图解
问题分析
模型评价 模型应用
模型假设 符号设定
建立模型
N
Y
模型检验
模型求解
1.4 数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口,生态,交通,环境,经济等 初等数学,网络,微分方程, 运筹,随机模型等
表现特性
确定和随机
•设小王的租车费用为y 元，汽车行驶了
x
km。
二、模型的分析与建立
由问题知道，小王共租用了5天汽车。小王的租车用为5 x 元为基本租金200×5与汽车行驶里程费用 之和。因此租 车费用 y 与车程 x 之间的关系为
y 200 5 5 x
三、模型求解
将2800代入上式，得
2800 1000 5 x
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
即
6% n p,0 n 3000 y1 8% n p 2 n 60 p 6000, n 3000
出版社B给作家的报酬为： 0, 0 n 4000 y2 10% n 4000 p 3 n 4000 , n 4000 即
第二章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
思考2：餐馆中洗盘子问题
餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是 这样清洗盘子的：先用冷水粗洗一下，再放进热水池 洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低， 否则洗不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一 池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下。
数学建模的一般步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要 的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构建模—— 即建立数学模型。 在难以得出解析解时，也
二、模型的分析、建立与求解 问题（1）
老人的年收入 I （单位：万元）为购买公司债券的红利收入x r1 与银行存款的利息收入100 x r1 之和。 因此建立模型如下：
I x r1 100 x r2
0 x 100
即：
I r1 r2 x 100 r2
将年收入4.5万元代入模型
得
4.5 2.5% x 3
解之，得
x 60 （万元）
所以如果老人希望获得45000元的年收入，则至少 要购买60万元的公司债券。
问题三：出版的稿酬模型
有两家出版社正在竞争一部新作的出版权。 A出版社给作者的稿酬为：前3000册提供6%的版税； 超过3000册部分支付8%的版税另加每本2元稿酬。
离散和连续
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述,分析,预报,决策,控制等
白箱 灰箱 黑箱
1.5 数学建模与能力的培养
①数学建模实践的每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 数学建模与其 调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理 说是一门技术,不 能力等。在提出假设时，又需要用到 想象力和归纳 简化 如说是一门艺术 . 开设数学建模课的主要目的为了提高学 能力。 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 技术大致有章可. 题的本领。撰写论文的初步方法 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 循,艺术无法归纳 前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继 成普遍适用的准 续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果 则. 用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在 尽可能短的时间内查到并学会想应用的知识的本领。 ③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
0,0 n 4000 y2 10% n p 3 n 400 p 12000, n 4000
三、模型求解
y2 均为分段函数， 这里 y1 ，
当n 4000 时，显然 y1 y2 0
，所以选择A出版社；
当 n 4000 时，令 y1 y2 ， 即
二、模型假设与变量说明
• 小王在国庆前一天到租车公司取了车，同时交付了 1000元押金。假期第5天下午5时，他还车时支付了 2800元租车费（含押金）。问小王驾车行驶了多少 千米？
一、模型假设与变量说明
•假设小王在租车期间没有造成汽车损坏，2800元租车 费为基本租金与驾车里程收费之和。 •假设租车时间不到一天按一天计。
三、模型的分析与建立
所用地砖的数量 表示取上整。 a / di b / di ，其中 所用材料的面积 ( a / di di ) ( b / di di ) 浪费面积 ( a / di di ) ( b / di di ) ab 按题目要求：求浪费的材料最少，即
S
思考1：淋雨量问题
一个雨天，你有急事需要从家到学校去，学校离家 仅1km，且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具， 决定碰一下运气，冒着雨去学校。而出发雨就大了， 但你不打算再回去，一路上，你将被大雨淋湿。
,
一个似乎很简单的考虑是你应该在雨中尽可能地快 走，以减少淋雨的时间。但如果考虑到降雨方向的变 化，在全部路程上尽力地快跑是不是最好的策略？试 建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能降低淋雨的 程度。
• 假设房间地面为一个标准的长方形 • 假设玻化砖均为标准的正方形，三种型号地砖的 边长分别为0.5m，0.6m，0.8m.
• 不考虑玻化砖之间的缝隙、房屋尺寸的误差以及 瓷砖尺寸的误差等等。
• 假设一间屋用同一型号的地砖。 • 假设一块地砖被切割后，余料不能再用。 • 设测得房间的长为a m，宽为b m. •设三种型号规格的地砖的边长分别为di（i=1,2,3）
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
一、模型假设与变量说明
•假设不考虑投资公司债券的风险。 •假设公司债券的红利与银行的利息都按年支付， 且利率固定。 •假设老人将1百万全部用来购买公司债券或存入银 行，没有闲臵。 •假设老人的年收入为 I （万元），购买公司债券的金额为 x 万元，则存入银行的金额为100 x 万元，公司债券的年回报率 为 r1 ，银行存款的年利率为 r2 。
( a / di di ) ( b / di di ) ab 最小
简记为 min( a / di di ) (b / di ) ab 这就是要建立的数学模型。
五、模型的分析与检验
• 在实际装修中，工人师傅一般会在正式铺地砖之 前进行预铺，以调节误差，使铺出的地砖整齐、 美观。因此，建模时可以不考虑各种误差。我们 所得结果与实际情况吻合，模型正确实用。 • 把模型分析的结果返回到实际所研究的对象中， 如果检验的结果不符合或部分符合实际情况，那 么我们必须 回到建模之初，修改、补充假设，重 新建模；如果检验结果与实际情况相符，则进行 最后的工作——模型的应用。