成都七中高2017届高三下期第9周测试数学试卷（理科）命题人：周建波审题人：张世永满分150分 120分钟完卷一、选择题（5×12=60′）1. 集合{}2|230M x x x =--≥，{}|21N x x =-≤，则R M N ⋂=ð( )A. {}|10x x -<≤B. {}|03x x <<C. {}|13x x ≤<D. {}|03x x <≤2. 复数22(1)1i i +++的模长为( )A.B.C.D. 3. 圆22:(2)(1)4C x y -+-=关于直线:10l x y -+=对称的圆C '的方程为( ) A. 22(1)(2)4x y -+-=B. 22(1)(2)4x y +++=C. 22(3)4x y +-=D. 22(3)4x y ++=4. 函数()sin()3f x x πω=+的图象与x 轴的交点横坐标构成了一个公差为4π的等差数列，若要得到()cos()3g x x πω=+的图象，可将()f x 的图象( )A. 向左平移8π个单位 B. 向右平移8π个单位 C.向左平移2π个单位 D. 向右平移2π个单位 5. 下列选项中，说法正确的是( )A.命题“20000,0x x x ∃<-<”的否定为“20,0x x x ∀≥-≥”B.在等腰ABC ∆中，23A π∠=，BC =，则ABC ∆的外接圆半径等于2C.若A O B '''∆是水平放置面积为4的AOB ∆的直观图，则A O B '''∆D.向量(1,1)a =- 在向量(1,0)i =上的投影等于16. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m 的取值范围是( ) A. (30,42] B. (20,30) C. (20,30] D. (20,42)7. 已知函数()cos(2)3f x x π=+，()f x '是()f x 的导函数，则函数()2()()g x f x f x '=+的一个单调递减区间是( ) A. 75,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 517,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 75,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 517,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 从方程{}22:1(,1,2,3)x y C m n m n-=∈-所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取两个，记“两个方程都是双曲线”为事件A ，“两个方程都是焦点在x 轴上的双曲线”为事件B ，则(|)P B A =( ) A.45 B. 35C.47 D.379. 在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r ⎧+≤⎪-≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域Ω的面积为π，若(,)P x y 是Ω内任意一点，那么3x yx ++的最小值为( )A.17--B. 87--C.95--D. 45-- 10. 已知直线l 的方向向量(4,4)ν=-，与y 轴的交点为(0,4)-，若M ，N 是直线l 上两个动点，且4MN =，则OM ON ⋅的最小值为( )A. 4B. C.52D.3211. 已知双曲线2222:1(,0)y x a b a b Γ-=>的焦点为1F ,2F ，过下焦点1F 且垂直于实轴的直线交Γ的下支于M ，N 两点，2MF ，2NF 分别交虚轴所在直线于S ，T 两点，若2SF T ∆的周长为20，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为( ) A.32B.C.3D.312. 设函数310,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()(())(0)g x f f x a a =->有两个不同的零点1x ，2x ，则121010x x⋅的最大值为( )A. 3310lg eeB. 3327lg e eC. 2210ln 2eD. 2227ln 2e二、填空题（5×4=20′）13. 已知离散型随机变量2105B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，，且=49ηξ-，则()=E η___________；14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_________；15. 若()33a x x dx -=+⎰，则在a的展开式中，有理项为___________；16.《九章算术》作为中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成书于东汉年间，作者已不可考，当世流行的版本多为《海岛算经》的作者、三国时期魏国刘徽为其所作的注本.在此书第五章“商功”篇里，提及了一种称之为“鳖臑（biē nào ）”的空间几何体，用现代白话文翻译过来即“四个面都为直角三角形的三棱锥” .在鳖臑P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3PA =，4AC =，过点A 分别作AE PB ⊥于E ，AF PC ⊥于F ，连接EF ，当AEF ∆的面积最大时，BPC ∠的正切值为___________.三、解答题（12×5+10×1=70′）17. 已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==+++ ，求证：()1.2n n n T ->18. 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度； （2）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：y 关于x 的回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为x b y a xn xy x n yx b ni ini ii ∧∧==∧-=--=∑∑,1221.19. 如图，三棱柱ABC DEF -中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且,32ABE BC π∠==.四棱锥F ABED -的体积为2，点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且G 在AE 上，点M 是在线段CF 上，且14CM CF =. （1）证明：直线//GM 平面DEF ； （2）求二面角M AB F --的余弦值.20. 设椭圆2211612x y +=上三个点M N 、和T ，且M N 、在直线8x =上的射影分别为11,M N . （1）若直线MN 过原点O ，直线MT NT 、斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值；（2）若M N 、不是椭圆长轴的端点，点L 坐标为()3,0，11M N L ∆与MNL ∆面积之比为5，求MN 中点K 的轨迹方程.21. 已知函数()()()()ln 1,11xf x m xg x x x =+=>-+. （1）讨论函数()()()F x f x g x =-在()1,-+∞上的单调性；（2）若()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x a a y a αα=+⎧⎨=⎩（0,a α>为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程3cos 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值； （2）,A B 为曲线C 上的两点，且3AOB π∠=，求OAB ∆的面积最大值.23. 选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）作出函数()f x 的图象；（2）若22223a c b m ++=，求2ab bc +的最大值.成都七中高2017届高三下期第9周测试数学试卷（理科）参考答案及评分意见17. 解：(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n n a a n ，从而有13+=n n b b ，11112=-=b a ， 所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列. ……………………………………………………………5分(2) 由(1)知13-=n n b ，从而1132-=+n n a ，11331log (3)log 312--=+>=-n n n c n ， 有12(1)01212-=+++>+++-= n n n n T c c c n ，所以(1)2->n n n T . ………………………………………………………………………………………12分18. 解：(1) 设各小长方形的宽度为m ，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(0.080.10.140.120.040.02)0.51m m +++++⋅==，故2m =；……………………………………4分 (2) 由(1)知各小组依次是[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]，其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，故可估计平均值为10.1630.250.2870.2490.08110.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；…………………8分 (3) 空白栏中填5. 由题意可知，1234535x ++++==，232573.85y ++++==，51122332455769i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555i i x ==++++=∑，根据公式，可求得26953 3.812 1.2555310b-⨯⨯===-⨯ ， 3.8 1.230.2a =-⨯=， 即回归直线的方程为 1.20.2y x =+. ………………………………………………………………………12分 19. 解：（1）解：因为四棱锥F ABED -的体积为2，即14223F ABED V FG -=⨯⨯=，所以FG =又2BC EF ==，所以32EG =即点G 是靠近点A 的四等分点，过点G 作//GK AD 交DE 于点K ，所以3344GK AD CF ==，又34MF CF =，所以MF GK =且//MF GK ，所以四边形MFKG 为平行四边形，所以//GM FK ，所以直线//GM 平面DEF .…………………………………………………………6分（2）设,A E B D 的交点为O ，OB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABED 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：())150,1,0,,0,,244A BF M ⎛⎛--- ⎝⎝()511,0,,442BA BM BF ⎛⎛=-=--=- ⎝⎝ 设平面,ABM ABF 的法向量为,m n， 00m BA m BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则()1,1m =- ， 00n B A n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则11,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴cos ,m n m n m n ⋅<>==⋅，∴二面角M AB F --.…………………………12分20. 解：（1）设()()()00,,,,,M p q N p q T x y --，则22012220y q k k x p-⋅=-， 又2222001161211612p q x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得22220001612x p y q --+=，即22022034y q x p -=--，1234k k =-.………………4分 （2）设直线MN 与x 轴相交于点()1,0,32MNL M N R r S r y y ∆=-⋅-，1111152M N L M N S y y ∆=⋅⋅-，由于115M N L MNL S S ∆∆=且11M N M N y y y y -=-，得1111553,22M N M N y y r y y ⋅⋅-=⋅-⋅-则2r =或4r =（舍去）. 即直线MN 经过点()2,0F .设()()()112200,,,,,M x y N x y K x y ，① 直线MN 垂直于x 轴时，弦MN 中点为()2,0F ；② 直线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为()2y k x =-，则()()222222134161648016122x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩. 则有22121222161648,3434k k x x x x k k -+==++，∴2002286,3434k kx y k k-==++. 消去k ，整理得()()2200041103y x y -+=≠. 综上所述，点K 的轨迹方程为()()2241103y x x -+=>.……………………………………………12分 21. 解：（1）()()()()()()()22111,1111m x m F x f x g x x x x x +-'''=-=-=>-+++ 当0m ≤时， ()0F x '<，函数()F x 在()1,-+∞上单调递减；当0m >时，令()101F x x m '<⇒<-+，函数()F x 在11,1m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减； ()101F x x m '>⇒>-+，函数()F x 在11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，综上所述，当0m ≤时，()F x 的单减区间是()1,-+∞；当0m >时，()F x 的单减区间是11,1m ⎛⎫--+⎪⎝⎭，单增区间是11,m ⎛⎫-++∞⎪⎝⎭………………………4分 （2）函数()()ln 1f x m x =+在点()(),ln 1a m a +处的切线方程为()()ln 11my m a x a a -+=-+，即()ln 111m may x m a a a =++-++， 函数()1x g x x =+在点1,11b b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭处的切线方程为()()211111y x b b b ⎛⎫--=- ⎪+⎝⎭+， 即()()222111b y x b b =+++.()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线.所以()()()222111ln 111m a b ma b m a a b ⎧=⎪++⎪⎨⎪+-=⎪++⎩①② 有唯一一对(),a b 满足这个方程组，且0m >.由（1）得： ()211a m b +=+代入（2）消去a ，整理得：()22ln 1ln 101m b m m m b +++--=+，关于()1b b >-的方程有唯一解. 令()()22ln 1ln 11g b m b m m m b =+++--+，()()()()2221122111m b m g b b b b +-⎡⎤⎣⎦'=-=+++方程组有解时，0m >，所以()g b 在11,1m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭单调递减，在11,m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以()min 191ln 1g b m m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， 因为()(),,1,b g b b g b →+∞→+∞→-→+∞，只需ln 10m m m --=，令()ln 1m m m σ=--、()ln m m σ'=-在0m >为单减函数，且1m =时，()0m σ'=，即()()max 10m σσ==，所以1m =时，关于b 的方程()22ln 1ln 101m b m m m b +++--=+有唯一解 此时0a b ==，公切线方程为y x =.……………………………………………………………………12分22. 解：（1）由cos sin x a a y a αα=+⎧⎨=⎩可得cos sin x aay aαα-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式平方后相加即得222()(0)x a y a a -+=>， ∴曲线C 是以(),0a 为圆心，以a 为半径的圆；直线l的直角坐标方程为30x -=．由直线l 与圆C 只有一个公共点，即直线l 与圆C 相切，则可得32a a -=， 解得： 3a =-（舍），1a =．所以：1a =………………………………………………………………………………………………5分 （2）因为曲线C 是以(),0a 为圆心，以a 为半径的圆，且3AOB π∠=由正弦定理得：2sin3AB a π=，所以AB =．由余弦定理得22223AB a OA OB OA OB OA OB ==+-⋅≥⋅，所以2211sin 323224OAB S OA OB a π∆=⋅≤⨯⨯=， 所以OAB ∆的面积最大值24．…………………………………………………………………10分23. 解：（1）()12,213,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩（如果没有此步骤，需要图中标示出1,12x x =-= 对应的关键点，否则扣分）画出图象如图所示, ………………………………………………………………………………………5分 （2）由（1）知32m =． ∵()()22222223232242m a c b a b c b ab bc ==++=+++≥+， ∴324ab bc +≤，∴2ab bc +的最大值为34，当且仅当12a b c ===时，等号成立． ……………………………………………………………10分。