x f

y
1

1 zc

0
0
0 f 0
0 0 1
0 0 0

xc yc zc 1

第三个阶段，像点向像素坐标转化：
u 1/ dx cot / dx u0 x
v



0
1/(d y *sin ) v0

y
1 0
0
1 1
u ffu ffu cot u0
zc
v



0
ffv / sin v0 R
1 001
2019/10/18
A
xw
t


yw


zw

1
11
2019/10/18

x0 y0
矩阵表示
x cos

y

sin

sin cos


x' y'


x0 y0

齐次坐标
x cos

y

sin

1 0
sin c os
0
x0 x'
y0


y'
• 图像坐标系 是以图像的左上方为原点，的图像坐标系（u v）（此坐标以像素为单位），这里我们建立了图 像物理坐标系（x y）为xoy坐标系（此坐标系以毫米为单位）。
2019/10/18
5
一个二维点坐标被表示为m [u, v]T ，一个三维点被表示为M [X ,Y , Z ]T ，我们使用 ~x 去表示通过在矩阵最后面的元素加一个1的向量：m~ [u, v,1]T 和 M~ [X,Y, Z,1]T ，相机通常都是针孔模型：它的3D点M和它的图像投影 点m的关系为：
张正友相机标定方法
曲峰
2019/10/ 18
2019/10/18
1
1 相机畸变
2019/10/18
镜头畸变实际上是光学透镜固有的透视失真的总称
枕形畸变：又称鞍形畸变，视野中边缘区域的放大率远大于光轴中心附近 区域放大率。常出现在远摄镜头中。
桶形畸变：同枕形相反，视野中光轴中心附近区域放大率远大于边缘区域。 常出现于广角镜头和鱼眼镜头。
sm~ A[R,t]M~
任意数 2019/10/18
二维坐标 内参矩阵 旋转矩阵 平移矩阵 三维坐标
u0
A


0

v0

0 0 1
6
1 坐标变换
2019/10/18
首先从二维坐标变换进行理解
x

y

x' c os x' s in

y' s in y' c os
y,

)

0
cos

0
sin
sin
0 1 0
cos
sin
0

cos

cos sin 0

Rot(
z,
)


sin

cos
0

0
0 1
8
1 坐标变换
引申到三维空间，第一个阶段：我们依旧从旋转和平移两个步骤 来推算从世界坐标系到相机坐标系的坐标变换
0 1
r12 r22 1
r1 r2 0
7
1 坐标变换
2019/10/18
引申到三维空间，第一个阶段：我们依旧从旋转和平移两个步骤 来推算从世界坐标系到相机坐标系的坐标变换，

1 0
0

R ot( x,
)

0
cos
sin


Rot(

齐次坐标形式:
v0
C
yd
xd
O1
Xd
u0
U
u fu fu cot u0 xd
v



0
fv / sin
v0


yd

其中
fu

1 dx
,
fv

1 dy
1 0
0
1 1
2019/10/18
10
1 坐标变换
第二个阶段，空间点向像点转化：
2019/10/18
4
坐标系
• 世界坐标系（Xw Yw Zw） 用户定义的空间三维坐标系，用来描述三维空间中的物体和相机之间的坐标位置，满足右手法 则
• 摄像机坐标系（Xc Yc Zc） 以相机的光心作为原点，Zc轴与光轴重合，并垂直于成像平面，且取摄影方向为正方向，Xc、 Yc轴与图像物理坐标系的x,y轴平行，且OcO为摄像机的焦距f
x cos cos

y

sin

sin

cos
z cos sin cos
1

0
cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos
0
sin sin cos cos cos

R

0
1
x'
T 1


y' z'

1

9
图像数字化
O1 在u, v中的坐标为 u0 , v0
象素在轴上的物理尺寸为 dx, dy
V
Yd
Affine Transformation :
u

u0

xd dx

yd
cot
dx
v


0
x0 x'
y0


y'
z0 1


z'
1

R r1 r2 r3
T (t1, t2 , t3 )T
r12 r22 r32 1 r1 r2 r2 r3 r3 r1 0
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x

y z
线性畸变：光轴同所拍摄的如建筑物类物体的垂平面不正交，则本应相互 平行的远端一侧同近端一侧，以不相同的角度汇聚产生畸变。这种畸变本 质上是一种透视变换，即在某一特定角度，任何镜头都会产生相似的畸变。
2
枕形畸变 2019/10/18
桶形畸变
线性畸变 3
1 针孔模型和透视投影
针孔模型：1/f=1/u+1/v 透视投影：中心投影法将形体投射到投影面上
sm~ A[R,t]M~
展开
X
u
sv Ar1
r2
r3

t
Y

Z
1

1

Z=0平面
X
u
sv


Ar1
r2
r3

t
Y
0


Ar1
r2
X
t
Y

1

1

1
12
2 单应性矩阵推导 u