第二章 网孔分析和节点分析
2.1 网孔分析 2.2 互易定理 (教学大纲不要求) 2.3 节点分析 2.4 含运算放大器的电阻电路 2.5 电路的对偶性
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§2-1 网孔分析法
一.网孔电流是一组完备的独立变量
1.完备性
i1 R1
R2 i2
i1 = i A i4 = iA - iC
+
i2 = i B i5 = iA +iB
+ US1
–
iA
i5 R5
iB
+ –US2
网孔电流是一组彼此独 立无关的变量。
.
− US4+ R4
i4 iC
R6
i6
+− US3
R3 i3 5
例１：试列写下图所示电路的网孔方程组
解：
+ US1
–
R1
R4
R3I1
R5 R6 I2
IS
(R1 + R3 + R5) I1-R5 I2-R3I3= US1
US2 +–
R1
R2 I3
+ U2
–
R3
I2
US –
与独立源一样对待，但要找
出控制量（U2 ）与未知量 （I3、I2 ）的关系
依据克莱姆法则 2 -5 0
-1 4 -5
代入数据整理
2I1 - 5I2 + 3I3 = 0 - I1 + 4I2 - I3 = -5 - I1 - 2I2 + 4I3 = 0.
I3 =
i1 1
G5 2
i5 i3 3
iS G1
i2 G3
i4
G2
G4
4
选4为参考点
.
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二、节点方程的建立
节点1 i1 + i5 - i s = 0
节点2 - i1 + i 2 + i3 = 0
节点3 - i3 + i 4 - i5 = 0
i1 = G1(u1 - u2 )
i2 = G2u2
i3 = G3(u2 - u3)
R11iA+R12iB+R13iC=uS11 R21iA+R22iB+R23iC=uS22
-R4iA+R6iB+(R3+R4+R6)iC=uS3+uS4 R31iA+R32iB+R33iC=uS33
令 R11=R1+R4+R5
i1 R1
R2 i2
为第一网孔的自电阻
令 R12= R21 = R5 为一、二两网孔中互电阻
R5
(R4 + R5 + R6 )I2 - R6I3 = U 0
+US2–
R2 I3
- R3I1 - R6I2 + (R2 + R3 + R6 )I3 = U S2
IS = I2 - I1 辅助方程
电流源IS在中间支路时，可设一电压列入方程，再列一辅 助方程。
.
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例3 电路如图示，已知Us=5V，R1=R2=R4=R5=1Ω，
+ uS4
R4
i4 R6 i6 iC
R3iC -uS3-u S4+R4(iC-iA)+R6(iB+iC)= 0 + uS3 – R3 i3
(R1+R4+R5) iA+R5iB-R4 i c= uS1- uS4 R5iA+(R2+R5+R6) iB+ R6iC = uS2
－R4iA+R6iB+(R3+R4+R6)iC=uS3+uS4
令 R13 =R31 =－R4
+
US1
iA
–
–+ US4
R4
i5
R5
iB
i4 R6 i6 iC
+ –US2
为一、三两网孔中互电阻
令 uS11= uS1-uS4
+– US3
为第一网孔中电压源电压升的代数和
R3 i3
1自电阻×网孔电流＋互电阻×相邻网孔电流=网孔中电压
源电压升的代数和。
2自电阻总为正值。互电阻则有正有负，两网孔电流流 过互电阻时，方向相.同则取正, 方向相反则取负。 4
R3=2Ω，μ=2。 求U1＝？ 解： (R2+R4)I1–R4I2 – R2I3= – μU2
+μU2 –
R5
– R4I1+(R3+R4+R5)I2-R3I3= – US
I1
R4
+
– R2I1 – R3I2+(R1+R2+R3)I3=0 U2=R3(I3 – I2)
列网孔方程时，受控源可
+ U1
–
-1 2
-2 -5
0 = - 45 = -3.75 A 3 12
-1 4 -1
-1 - 2 4
8
U1 = -R1I3 = 3.75 V
§2-3 节点分析法
一.节点电位是一组完备的独立变量
1.完备性：如果各节点电位 一旦求出，各个支路电压就 可求得，进而可求得各支路 电流。
2.独立性：节点电位不受 KVL的约束，节点电位彼此 独立无关。
i4 = G4u3
i1 1
G5 2
i5 i3 3
iS G1
i2 G3
i4
G2
G4
4
i5 = G5 (u1 - u3 ) (G1 + G5 )u1 - G1u2 - G5u3 = i S - G1u1 + (G1 + G2 + G3)u2 - G3u3 = 0
uS1 –
iA
i5
R5
iB
+ –uS2
i3 = i C i6 = iB + iC
网孔电流一旦求出，各
–
+ uS4
R4
i4 R6 i6 iC
支路电流均可求得。
+– uS3
R3 i3
2.独立性
网孔电流向一个节点流入又从这个节点流出，所以它不
受KCL的约束。
-i1-i2+ i5= 0
-iA-iB +(iA+iB)=0
R2 I3
I2 = -IS
- R3I1 - R6I2 + (R2 + R3 + R6 )I3 = U S2
电流源IS在边沿支路时，可以减少方程数。
.
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例2：试列写下图所示电路的网孔方程组
R1
R4
解：
+
US1 –
(R1 + R3 )I1 - R3I3 = U S1 - U 0
I1
+
R3
U0 –
IS
R6 I2
R11iA+R12iB+R13iC=uS11 R21iA+R22iB+R23iC=uS22 R31iA+R32iB+R33iC=uS33
等号左端是网孔中全部电阻上电压降代数和， 等号右端为该网孔中全部电压源电压升代数和。
.
3
(R1+R4+R5)iA+R5iB-R4ic= uS1- uS4 R5iA+(R2+R5+R6) iB+ R6iC = uS2
网孔电流彼此独立无关，所以网孔电流是一组完备的独
.
2
立变量。
二.网孔方程的建立
i1 R1
R2 i2
+
应用KVL列网孔电压方程 uS1
iA
–
i5
R5
iB
+ –uS2
R1iA+R5(iA+iB)+R4(iA-iC)+uS4-uS1=0 R2iB+ R5(iA+iB)+R6(iB+iC)-uS2 =0
–
§2-1 网孔分析法
网孔分析法是以网孔电流为未知量，利用KVL 定律列出方程组，进而求得电路响应的分析方法。
网孔分析法只适用于求解平面电路。
求解量 (未知数)：网孔电流
求解量数目(方程数)：网孔数 m 列方程依据： KVL定律
网孔电流是一组完备的变量： i1 R1
R2 i2
求出网孔电流，即可方 便地求得各支路电流。