测量平差概要一、基本概念01、极条件的个数等于中点多边形、大地四边形和扇形的总数。

02、在间接平差中，独立未知量的个数等于必要观测数。

03、协方差与权互为倒数。

04、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。

05、在间接平差中，误差方程的个数等于观测值的个数。

06、协因数阵与权阵互为逆阵。

07、偶然误差的四个统计特性是：有界性、聚中性、对称性和抵偿性。

08、圆周条件的个数等于中点多边形的个数。

09、偶然误差服从正态分布。

10、只有包含中点多边形的三角网才会产生圆周角条件。

11、条件平差的法方程个数等于多余观测个数，间接平差的法方程的个数等于必要观测数。

12、描述偶然误差分布常用的三种方法是：列表法、绘图法、密度函数法。

13、同一个量多次不等精度观测值的最或是值等于其加权平均值。

14、应用权倒数传播律时观测值间应误差独立。

15、极限误差是指测量过程中规定的最大允许误差值，通常取测量中误差的3倍作为极限误差。

16、在平地，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成正比。

17、在水准测量中要求前后视距相等是为了消除i角产生的系统误差。

18、在测角中正倒镜观测是为了消除系统误差。

19、水准网的必要起算数据为1个，独立测角网的必要起算数据为4个。

20、在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是偶然误差。

21、独立测角网的条件方程有图形条件、圆周条件和极条件三种类型。

22、定权时单位权中误差可任意给定，它仅起比例常数的作用。

23、测角精度与角度的大小无关。

24、观测值的权通常是没有量纲的。

25、在山地，水准测量的高差中误差与测站数的算术平方根成正比。

26、测角网的必要观测个数等于待定点个数的2倍。

27、仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件28、独立水准网的条件方程式只有闭合水准路线。

29、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。

30、观测值的协因数与方差成正比，观测值的权与方差反比。

31、观测值的权是其协因数的倒数。

32、误差传播律的作用是求观测值函数的中误差。

33、条件方程的个数等多余观测值个数。

34、以待定点的坐标为未知参数的间接平差称为坐标平差。

35、单一附合导线的多余观测始终是3。

36、消除或削弱系统误差的影响方法是在观测过程中采取一定的措施或在观测结果中加入改正数。

37、同一个量多次等精度观测值的最或是值等于其算术平均值。

38、没有已知点的水准网，其必要观测值的个数等于待定点的个数减一。

39、有已知点的水准网，其必要观测个数等于待定点个数。

40、在相同的观测条件下得到的一组观测值称为同精度观测值。

42、条件方程式之间必须函数独立。

44、应用误差传播律时观测值间应相互独立。

45、以待定点的高程作为未知参数，它们之间总是函数独立的。

46、观测值与平差值之差不是真误差。

47、应用权倒数传播律求平差值函数的权倒数时，应先将平差值化为误差独立的观测值。

48、在间接平差中，将平差值方程等号左边的观测值移到等号右边就得到了误差方程。

49、加权平均值的权等于各观测值的权之和。

50、观测量的真值指的是一个能反映其真正大小的数值。

51、观测值与真值之差是真误差。

52、水准网的条件方程式只有闭合水准路线和附合水准路线两种。

53、根据三角形的闭合差计算测角中误差的公式叫菲列罗公式。

54、对于同一个平差问题，间接平差和条件平差的结果是相同的。

55、若观测值间的互协因数为零，表示观测值之间不相关，也称为独立观测值。

56、精度指的是误差分布的密集或离散的程度。

57、间接平差与条件平差一定可以相互转换。

58、在间接平差中，未知数参数的个数等于必要观测的个数。

59、图形条件的个数等于互不重叠的三角形个数加上实对角线的条数。

60、系统误差不能用平差的方法进行消除或减弱。

61、水准测量中，高差的方差与距离成正比，高差的权与距离成反比。

62、条件平差的函数模型是条件方程，间接平差的函数模型是误差方程。

63、等于1的权称为单位权，权为1的中误差称为单位权中误差。

二、误差传播律的应用1、已知单位权中误差为21''±，观测值1L 、2L 、3L 的中误差为2''、3''、4''，求观测值的权。

【解：】94121631236212222320322222022221201=========σσσσσσp p p2、水准测量中每站高差的中误差为3mm ，现从已知点A 测至待定点P 共观测了36个测站，求该测段的高差中误差。

【解：】mm n AB 18336=⨯==站σσ3、如图，已知AB 方位角为20381155''±'''︒，导线角30281651''±'''︒=β，664042382''±'''︒=β，试求CD 边方位角及其中误差。

【解：】63719918018021'''︒=+︒-+︒+=ββAB CD T T"=++±=++±==763222222221ββm m m m AB CD T T 4、有一矩形场地，测得长mm m a 2050±=，宽mm m b 1240±=，计算该矩形的面积P 及其中误差P σ。

【解：】⑴ 220004050m ab P =⨯==⑵ 2222222221020.040012.050m b a a b p =⨯+⨯=+=σσσ5、有一角度，4测回的中误差为6''，要使其中误差为3''，需要再增加多少个测回？【解：】 21641''=''==σσσx163123322222===''==σσσn nx16 – 4=12需要再增加12个测回。

6、在三角形ABC 中，已知角A 的观测中误差为3''，角B 的观测中误差为4''，问角C 的中误差为多少？ 【解：】 B A C --︒=180254322222=+=+=B A C σσσ5''=C σ角C 的中误差为5''。

三、平差计算题1、如图，A 、B 、C 三点均为待定点，试按条件平差法求各高差的平差值。

试按条件平差法求各高差的平差值。

【解：】⑴ 列改正数条件方程，闭合差以毫米为单位：014321=-++v v v⑵ 定权 令1=C ，则有i iS p =1， 高差观测值的权倒数：211=p ，212=p ，313=p ⑶ 法方程的组成与解算：7323222121=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p a p a p a p aa 0147=-a k 解得：2=a k 。

⑷ 计算改正数kmS h km S h km S h 3399.22053.12332.1332211=-==+==+=621314212142121333222111=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==a a a k a p v k a p v k a p v ⑸ 计算观测值的平差值m v h hm v h h m v h h 393.2006.0399.2ˆ057.1004.0053.1ˆ336.1004.0332.1ˆ333222111-=+-=+==+=+==+=+= 2、设对某个三角形的3个内角作同精度观测，得观测值为3055781'''︒=L ，2133582'''︒=L ，9313423'''︒=L ，试按条件平差法求三个内角的平差值。

【解：】⑴ 列改正数条件方程，闭合差以秒为单位：06321=-++v v v⑵ 组成并解算法方程：法方程的系数： [aa]=3组成法方程为： 063=-a k 解得：2=a k 。

⑶ 计算改正数222332211''==''==''==a a a k a v k a v k a v⑷ 计算观测值的平差值141342ˆ413358ˆ505578ˆ333222111'''︒=+='''︒=+='''︒=+=v L Lv L L v L L 3、如图为单一水准路线，P 为待定点，已知点m H m H B A 193.7,530.5==，高差观测值m h m h 498.0,157.121==为等精度观测值。

试按间按平差法求待定点高程的平差值。

【解：】(1) 本题只有一个待定点，t =1，选取待定点P 1的高程为未知数Xˆ，选取未知的近似值为：xx X X h H X A δδ+=+==+=+=687.6ˆ687.6157.1530.5ˆ01(2) 列立平差值方程，并转化为误差方程。

⎩⎨⎧+-==⇒⎩⎨⎧++-+-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧--=--=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+8)(ˆˆˆˆ21212122112211x v x v h h H H x v x v h X H v h H X v X H v h H X v h A B B A B A δδδδ 式中常数项以mm 为单位。

其中：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=80l(3) 组成法方程：),(082l B W B B N x T T BB ===-其中δ(4) 解算法方程得：mm x 4=δ(5) 计算待定点的平差值高程：m x X X691.6004.0687.6ˆ0=+=+=δ 四、综合应用题1、写出下图所示三角网的各类条件的个数。

答：观测值个数 n =20，待定点个数t =5，多余观测个数102=⋅-=t n r① 图形条件（三角形）7个 ② 圆周条件1个； ③ 极条件2个2、什么是观测条件？答：仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。

3、怎样消除或削弱系统误差的影响？答：一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。

4、证明加权平均值的权][P P x =。

证明：n n L P P L P P L P PP PL x ][][][][][2211+++==应用权倒数传播律，有：][1][1)][(1)][(1)][(12212222121P P P P P P P P P P P P P P P nnn x =+++=+++=故：][P P x =5、写出下图所示三角网的各类条件的个数。

解：观测值个数 n =16，待定点个数t =4，多余观测个数82=⋅-=t n r① 图形条件（三角形）5个 ② 圆周条件1个； ③ 极条件2个6、对于一个具体的平差问题，如何确定选择条件平差还是间接平差？答：一般而言，如果多余观测数少，选择条件平差简捷些；如果必要观测数少，选择间接平差方便些。