0 0 1,k1 ( s) 1,k2 ( s) 2,k 2 ( s ) QH ( S ) 0 0 0 0 1,k3 ( s) 1,kr ( s) 2 , k3 ( s ) 2 , k r ( s ) 3, k 3 ( s ) 3, k r ( s ) r ,kr ( s ) 0 0
所以 Q(s)是单模阵。
定理 6-1：方阵 矩阵。
1 Q Q(s)为单模阵，当且仅当 (s) 也是一个多项式
1 证：” ”： Q(s)为单模矩阵 Q (s) 为多项式；
∵Q(s)为单模矩阵， ∴detQ(s)=c，故
1 Q (s) =adjQ(s)/detQ(s)= c
1
adjQ(s)
二、单模矩阵 一般地称，detQ(s)是 s 的函数。 定义 6-1：若 detQ(s)=常数（不恒为 0） ，或不是 s 的多 项式，称 Q(s)为单模矩阵。 例 Q(s)=
s 1 s 2 s 3 s 4
, detQ(s)=(s+1)(s+4)-(s+2)(s+3)=-2
0 1 ( s ) ( s ) ( s ) 0 U(s)Q(s)V(s)= = r 0 0 0
其中{ i ( s) }是 i 1,2,r 1 的非零首一多项式 且满足整 除性 i ( s) | i1 (s) ， 。则称 ( s ) 为多项式矩阵 Q(s)的史密斯 形。 （例子见书中 418 页）
特点： （1） i ( s) 为不恒等于零的首一多项式； （2）deg i ( s) deg i 1 (s) ; （3）V(s),U(s)不唯一，但 i ( s) 唯一的经过一系列初等变 换得到，即对给定 Q(s)，Smith 形唯一； （4）Q(s)与 Qs (s) 的秩相同；
多项式阵的一般性质 1． 线性相关与无关 称 p 个多项式 q1 (s), q2 (s) q p (s) 线性相关，当且仅当存 在一组不全为 0 的多项式 1 (s) p (s) 使
1 (s)q1 (s) 2 (s)q2 (s) p (s)q p (s) 0 成立。
1 Q (s) 也为多项式 ∵adjQ(s)为多项式，∴
1 “ ”： Q (s) 为多项式 Q(s)为单模矩阵；
1 1 Q 令 detQ(s)=a(s),det (s) =b(s)，而 Q(s) Q (s) =I
det Q(s) Q 1 (s) =detQ(s)det Q (s) =a(s)b(s)=1 ∵ a(s),b(s)均独立于非零的常数才成立，
T1,T2,T3 均为初等矩阵。 结论：任何一个 p 维单模阵 M(s)必可表示为有限个 p 维初等 矩阵的乘积。
四、标准型（规范型） 任何多项式阵 Q(s)经初等变换可化为标准型。 1． Hermite 型（上三角型） 设： q×p 的多项式 Q(s)的秩为 r， r min(q,p)， 则 Hermite 阵：
第6章 频域模型理论 基础
§ 1 多项式阵 一、多项式
D(s) d n s n d n1s n1 d1s d 0
多项式加减乘仍为多项式， 多项式除可能不是多项式， 多项式的集合不能构成一个域。 多项式的阶次 degD(s)=n, 即为最高项的次数， d n =1 称为首一多项式。
1 1 T2= 1 1
3．对任何一行（列）乘以 ( s ) 加到另一行（列）上，相当 于左（右）乘下述阵：
1 1 (s) 1 T3= 1
1
∴detQ(s)=常数 Q(s)为单模矩阵。
其它性质： （1）Q(s)为单模阵 Q(s)非奇异； （2）同维单模阵相乘必为单模阵；
1 Q (s) 位单模阵变换 对一个多项式 N(s) 1． 矩阵中任意两行互换， i,j 两行互换， 相当于对 N(s) 左乘下述阵：
算法（化 Q(s)为 QH (s) 的方法为初等变换） ： 见书 394 页 H 矩阵的特点： （1）前 r 行为非零行，后（q-r）行为零行； （2）每行最左边元素为首一多项式； （3）矩阵为梯形结构； （4） i ,ki (s) (i 1,2r ) 在所处列次数最高；
2． Smith 标准形（对角型） 任意 Q(s)经初等变换可化为 Smith 标准形。 设：q×p 的多项式 Q(s)的秩为 r，r min(q,p)，如果可 找 到 相 应 维 数 的 单 模 阵 {V(s),U(s)}, 使 得
1 1 0 1 1 0 1 1
T1=
Nr(s)=T1N(s) 若 i,j 两列互换，相当于对 N(s)右乘 T1。
2． 对任一行（列）乘以不为 0 的数，相当于左乘（行 变换）或右乘（列变换）下阵：
若仅当 1 (s) p (s) 0 上式成立，则称
q1 (s), q2 (s) q p (s) 线性无关。
2． 秩 对 Q(s)为 q p 阵，rankQ(s)=r, 即 Q(s)有 r 个列（行）向 量线性无关，或说至少存在一个 r r 阵的子式不恒等于 0。 3． 奇异性 detQ(s)不恒等于 0，则非奇异，否则奇异。