N (s) Nlc(s)
s k1
S
(s)




p
, ki n
s
k
p

i 1
s k1 1




s



1

(s)


s
k
p
1





s

1

可导出构造 (Ac , Bc ,Cc ) 的结构图
uˆ(s)

(
s)]ˆ(
s)

ห้องสมุดไป่ตู้
uˆ
(
s)
yˆ (s)

Nlc
(s)ˆ(s)

yˆ0 (s)
S(s)ˆ(s)


Dhc
D 1 lc
(s)ˆ(
s)

Dhc
1uˆ
(
s)
uˆ0 (s)
Syˆ0((ss))ˆ(s) (suˆ)0ˆ((ss))(核)
uˆ0 (s) Dhc1Dlc(s)ˆ(s) Dhc1uˆ(s)(外围)
第四章 传递函数矩阵的 状态空间实现
4.1 实现的基本概念和属性 4.2 有理分式传递函数矩阵的典型实现 4.3 基于MFD的典型实现 4.4 不可简约MFD的最小实现
4.1 实现的基本概念和属性
一 实现的定义和属性
1 实现的定义
假设已知线性定常系统的传递函数阵G(s)， 若找到状态空间模型{A,B,C,E}使得
yˆ(s) Nlc yˆ0 (s)
3 核实现 ( Aco , Bco , Cco ) 的构造
只要构造出(s)S 1(s)的实现,后面就只是代数运算了.
核
:
Syˆ0((ss))ˆ(s) (suˆ)0ˆ((ss)),ˆ(s)


称一个状态空间描述 x Acx Bcu 为控制器形实现,
y Cc x
其中
dim Ac
p
ki n, Cc (sI Ac )1 Bc N (s)D1(s)
i 1
{Ac , Bc}为完全能控且具有指定形式
2 MFD的核
引入列次表达式：
D(s) DhcS(s) Dlc(s)
{A,b,c,d},当且仅当dimA=deg（g(s)）时，实 现{A,b,c,d}是g(s)的最小实现。 定理4（多变量系统） ：
设真有理函数矩阵G(s)的实现是{A,B,C,D}, 当且仅当dimA=G(s)不可简约MFD的次数时，实 现{A,B,C,D}是G(s)的最小实现。
三 能控类实现和能观测类实现
G(s) C(sI A)1B E
成立，则称此状态空间模型为已知的传递函数 矩阵的一个状态空间实现。
2 实现的属性 实现的维数 ：
实现维数=dimA 实现的不唯一性 ：
维数可不同，同维的参数也可不同
最小实现
对于传递函数阵G(s)的一个维数最低的实现， 称为G(s)的最小实现或不可约简实现。
D 1 hc
uˆ0 (s) (s)S 1(s) yˆ0 (s) Nlc
yˆ ( s)
Dhc1Dlc
称 (s)S 1(s) 为核心右MFD。
yˆ(s) N (s)D1(s)uˆ(s) N (s)ˆ(s) D(s)ˆ(s) uˆ(s)
[
Dhc
S
(
s)

Dlc
2. 能观测形实现
0qq

Iq
00
Akqkq



0
Iq

Iq
C [0,0,,0, Iq ]qkq
0Iq 1I q




,
Bkq
p

P0

P1


Pk
2

k1Iq
Pk1
注：(1)形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵. (2)一定是能观的,但不一定是控的. (3)由此求最小实现时,要按能控性进行结构分解. (4)维数与能控性实现可能不同.
1能控类实现 {A,B,C，E}为G(s)的一个能控类实现的
充要条件是：
G(s) C(sI A)1B E {A, B}能控且有指定形式
2 能观类实现
{A,B,C，E}为G(s)的一个能观类实现的 充要条件是：
G(s) C(sI A)1B E {A, C}能观且有特定形式
d (s) sk k1sk1 1s 0
则G(s)可表为
G(s)

1 d (s)
P(s)

d
1 (s)
[
Pk
1s
k
1

P1s

P0 ]
形式上类似于SISO系统的传递函数, 只不过分
子的系数变成了矩阵.
1. 能控形实现
0 p p
Ip

0

0
Akpkp
二 最小实现的相关定理
定理1 ： 设严格真有理函数阵G(s)的实现为{A,B,C},
则其为最小实现的充要条件是{A,B,C}既完全能 控又完全能观。 定理2：
对给定的传递函数矩阵G(s),其最小实现不 是唯一的，但所有最小实现都是代数等价的。
定理3(单变量系统) ： 设分子分母互质的真有理函数g(s)的实现是
4.2有理分式传递函数矩阵的典型实现
一 标量传递函数的典型实现
能控规范形实现 能观测规范形实现 并联形实现（约当形实现） 串联形实现
二 传递函数矩阵的典型实现
G(s)----严格真，有理分式形式表达，即
G(s) [gij (s)],i 1,2,q; j 1,2, p; 令d (s)为gij (s)的最小公分母, 记为



0
Ip
Ip


,
Bkp
p



0
0

0I p 1I p
k1I p
I p
C [P0 , P1,, Pk1]qkp
注：(1)形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵. (2)一定是能控的,但不一定是能观的. (3)由此求最小实现时,要按能观性进行结构分解.
4.3 基于MFD的典型实现
G(s)qp 严格真 右MFD : G(s) N (s)D1(s)
D(s)列既约, 控制器形实现
左MFD : G(s) A1(s)B(s) A(s)行既约,观测器形实现
一. 构造控制器形实现
1控制器实现的定义
G(s) N (s)D1(s)严格真, D(s)列既约,ciD(s) ki ,i 1, 2, , p