习题九
1. 取步长h = 0.1，分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题
（1）；（2）
准确解：（1）；（2）；
欧拉法：，，，
改进的欧拉法：，，，
2. 用四阶标准龙格—库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。

，，，
3. 用欧拉法计算下列积分在点处的近似值。

0.5000,1.1420,2.5011,7.2450
4. 求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。

（1），2
（2），3；
（3），4
（4），4
5.用Euler法解初值问题取步长h=0.1，计算到x=0.3(保留到小数点后4位).
解: 直接将Eulerr法应用于本题，得到
由于，直接代入计算，得到
6.用改进Euler法和梯形法解初值问题
取步长h=0.1,计算到x=0.5，并与
准确解相比较.
解：用改进Euler法求解公式，得
计算结果见下表用梯形法求解公式，得
解得
精确解为
7.证明中点公式(7.3.9)是二阶的，并求其局部截断误差主项.
证明根据局部截断误差定义，得
将右端Taylor展开，得
故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。

8.用四阶R-K方法求解初值问题
取步长h=0.2.
解直接用四阶R－K方法
其中
计算结果如表所示：
9.对于初值问题
解因f'(y)=-100，故由绝对稳定区间要求(1)用Euler法解时，
(2)用梯形法解时，绝对稳定区间
为，由因f对y是线性的，故不用迭代，对h仍无限制。

(3)用四阶R-K方法时，
10. (1) 用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定?(2) 若用梯形法求解，对步长h有无限制? (3) 若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取?
解：用四阶显式Adams公式先要算出
，而
，其余3点可用四阶R-K方法计算。

由，得
由计算得再由四步四阶Adams显式方法得
11.用四步四阶的Adams显式方法
求解初值问题取h=0.1.(1)用形如
的线性二步法解(2)试确定参数
，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.
解本题仍利用局部截断误差的Taylor展开，
要确定参数
，可令
解得而方法得局部截断
故所求方法是二阶方法，局部截断误差主项为。