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2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)

2
(2)方法一:由(1)得 f x ax2 a 1 x 1 ex ax 1 x 1 ex .

a
1 ,则当
x
1 a
,1
时,
f
x
0
;当
x
1,
时,
f
x
0

所以 f x 在 x 1处取得极小值.
若 a 1,则当 x 0,1 时, ax 1 x 1 0 , f x 0 . 所以 1 不是 f x 的极小值点. 综上可知, a 的取值范围是 1, .
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4.(2018 浙江)已知函数 f(x)= x −lnx. (Ⅰ)若 f(x)在 x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8−8ln2; (Ⅱ)若 a≤3−4ln2,证明:对于任意 k>0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点.
2
2
所以 2 不是 f x 的极小值点.
综上可知,
a
的取值范围是
1 2
,

3.(2018 江苏)记 f (x), g(x) 分别为函数 f (x), g(x) 的导函数.若存在 x0 R ,满足 f (x0 ) g(x0 ) 且 f (x0 ) g(x0 ) ,则称 x0 为函数 f (x) 与 g(x) 的一个“S 点”.
4..答案:(1)略;(2)略.
解答:(1)
f
( x)
1 2x
1 x
,不妨设
f
( x1 )
f
(x2 )
t ,即 x1, x2 是方程
1 2x
1 x
t 的两
根,即
x1 ,
x2
是方程 tx2
x 2
1
0 的根,
所以 1 4t 0 ,得 0 t 1 ,且
4
16
x1
x2
1 2t

x1
x2
1

f
x
g
x且
f
x
gx
,得
x
1
x2 2x 2x 2
2
,此方程组无解,
因此, f x 与 g x 不存在“ S ”点.
(2)函数 f x ax2 1, g x ln x ,则 f x 2ax , g x 1 .
x
设 x0 为 f x 与 g x 的“ S ”点,由 f x0 与 g x0 且 f x0 与 g x0 ,
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【解析】 Q
y
x
2
1

k
2 0 1
2 , y
2x .
5.(2018 全国新课标Ⅲ理)曲线 y ax 1ex 在点 0,1 处的切线的斜率为 2 ,则 a ________.
5.答案: 3 解答: y aex (ax 1)ex ,则 f (0) a 1 2 , 所以 a 3.
方法二: f x ax 1 x 1ex .
(1)当 a 0 时,令 f x 0 得 x 1 , f x , f x 随 x 的变化情况如下表:
x
,1
1
1,
f x
0
f x
Z
极大值
]
f x 在 x 1处取得极大值,不合题意.
(2)当 a
0 时,令
f
x
0

x1
1 a

x2
1.
①当 x1 x2 ,即 a 1时, f x x 12 ex 0 , f x 在 R 上单调递增,

ax02 1
2ax0
ln x0 1 x0
,即
ax022ax102ln1
x0
,(*)
得 ln
x0
1 2
,即
x0
1
e2
,则 a
1 e. 1 2 2
2e 2
当a
e 2
时,
x0
1
e2
满足方程组(*),即
x0 为
f
x 与
g
x 的“
S
”点.
因此, a 的值为 e . 2
(3)对任意 a 0 ,设 h x x3 3x2 ax a .
因为 h0 a 0 , h1 1 3 a a 2 0 ,且 h x 的图象是不间断的,
所以存在
x0
0,1
,使得
hx0ຫໍສະໝຸດ 0,令be x0
2 x03
1
x0
,则
b
0

函数 f x x2 a , g x bex ,
x

f
x
2x

gx
bex
x
x2
1

由 f x g x 且 f x g x ,得
在区间 (0, ) 内存在“S 点”,并说明理由.
3.【答案】(1)见解析;(2) a 的值为 e ; 2
(3)对任意 a 0 ,存在 b 0 ,使函数 f x 与 g x 在区间 0, 内存在“ S 点”.
【解析】(1)函数 f x x , g x x2 2x 2 ,则 f x 1, g x 2x 2 .
f
(x2 )
8 8ln 2
.
(2)设 h(x) (kx a) f (x) kx x ln x a , 则当 x 充分小时 h(x) 0 ,充分大时 h(x) 0 ,所以 h(x) 至少有一个零点,
则 h(x) 1 1 k k 1 ( 1 1 )2 ,
x 2x
16 x 4
所以 f x f 0 , f x min f 1, f 1 f 1 ,
max
min
f
x
max
f
x min
f
0
f
1 1 4 3 .
2.(2018 天津文)已知函数 f(x)=exlnx,f ′(x)为 f(x)的导函数,则 f ′(1)的值为__________.
2.【答案】 e
① k 1 ,则 h(x) 0 , h(x) 递增, h(x) 有唯一零点, 16
② 0 k 1 ,则令 h(x) ( 16
1 x
1)2 k 1
4
16
0 ,得 h(x) 有两个极值点 x1, x2 (x1 x2 ) ,

1 x1
1 4
,∴ 0
x1
16 .
可知 h(x) 在 (0, x1) 递增, (x1, x2 ) 递减, (x2 , ) 递增,
x
,1 a
1 a
1 a
,1
1
f x
0
0
1,
f x
Z
极大值
]
极小值
Z
f x 在 x 1处取得极小值,即 a 1满足题意.
(3)当
a
0
时,令
f
x
0

x1
1 a

x2
1,
f
x

f
x

x
的变化情况如下表:
x
,1 a
1 a
1 a
,1
1,
f x
0
0
f x
]
极小值
Z
f x 在 x 1处取得极大值,不合题意. 综上所述, a 的取值范围为 1, .
2018 年全国各地高考数学试题及解答分类大全 (导数及其应用)
一、选择题
1.(2018 全国新课标Ⅰ文、理)设函数 f x x3 a 1 x2 ax .若 f x 为奇函数,则曲线 y f x
在点 0 ,0 处的切线方程为( )
A. y 2x B. y x C. y 2x
D. y x
三、解答题
1.(2018 北京文)设函数 f x ax2 3a 1 x 3a 2 ex .
(1)若曲线 y f x 在点 2,f 2 处的切线斜率为 0,求 a ;
(2)若 f x 在 x 1 处取得极小值,求 a 的取值范围.
1.【答案】(1) 1 ;(2) 1, .
2
【解析】(1) Q f x ax2 3a 1 x 3a 2 e x , f x ax2 a 1 x 1 ex , f 2 2a 1e2 ,由题设知 f 2 0 ,即 2a 1e2 0 ,解得 a 1 .
极大值
]
2.(2018北京理)设函数 f (x) =[ ax2 (4a 1)x 4a 3 ] ex . (Ⅰ)若曲线y= f(x)在点(1, f (1) )处的切线与 x 轴平行,求a;
(Ⅱ)若 f (x) 在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
2.【答案】(1)
a
的值为
1;(2)
a
的取值范围是
f x 无极值,不合题意.
②当 x1 x2 ,即 0 a 1 时, f x , f x 随 x 的变化情况如下表:
x
,1
1
1,1a
1 a
f x
0
0
f x
Z
极大值
]
极小值
1 a
,
Z
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f x 在 x 1处取得极大值,不合题意. ③当 x1 x2 ,即 a 1时, f x , f x 随 x 的变化情况如下表:
5.(2018 天津文)设函数 f (x)=(x t1)(x t2 )(x t3) ,其中 t1,t2,t3 R ,且 t1,t2,t3 是公差为 d 的等
差数列.
(I)若 t2 0, d 1, 求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (II)若 d 3,求 f (x) 的极值; (III)若曲线 y f (x) 与直线 y (x1 t2 ) 6 3 有三个互异的公共点,求 d 的取值范围.
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