/《二次根式》分类练习题知识点一：二次根式的概念【知识要点】 v二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子3x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三：111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。

已知a 5b 是512a b ++的值。

若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a aa 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。

2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）A ．3B ．– 3C ．1D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+()2005_____________a b -=。

（公式)0()(2≥=a a a 的运用）【例5】 化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：1、 在实数范围内分解因式:23x-= ；4244m m -+=429__________,2__________x x -=-+=2、 1-3、 ，则斜边长为（公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用）【例6】已知2x <,A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -举一反三：1( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．92、已知a<02a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a3、若23a p p ）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简aa a -++-4962的结果是（ ）(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a52得（ ）（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-2212＝ ．7、已知0a <【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．【例8】化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（ ）（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1举一反三：若代数式2，则a 的取值范围是（ ）Ａ．4a ≥ Ｂ．2a ≤Ｃ．24a ≤≤Ｄ．2a =或4a =【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）A. a=0B. a=1C. a=0或a=1D. a ≤1举一反三：1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3<x （C ）3≥x （D ）3≤x【例10】化简二次根式22a a a +-的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a1、把二次根式a a-1化简，正确的结果是（ ） A. -aB. --aC. -aD. a0 oba2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x x b ＝ ；aa --11)1(＝ 。

知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】【例11】在根式1) 222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。

举一反三：1、)b a (17,54,b 40,212,30,a 45222+中的最简二次根式是 。

2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A ．7B ．3C ．12D ．23、下列根式不是最简二次根式的是( )A.21a +B.21x +C.2bD.0.1y 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1)b a 23 (2)23ab(3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式：(1)12 (2)b a 245 (3)x yx 2【例12】下列根式中能与3是合并的是( )A.8B. 27C.25D.21举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A 、318和 B 、133和C 、22a b ab 和D 、11a a +-和 2、在二次根式：①12；② 32；③32；④27中，能与3合并的二次根式是 。

3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________.知识点四：二次根式计算——分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a ⋅=来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a b +与a b -，a b a b +-与，a xb y a x b y +-与分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】【例13】 把下列各式分母有理化（1）48 （2）4337- （3）11212 （4）13550-【例14】把下列各式分母有理化（1）328xx y（2）a b - （3）38x x （4）2525a b b a-【例15】把下列各式分母有理化：（1）221- （2）5353+- （3）333223-举一反三：1、已知2323x -=+，2323y +=-，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+2、把下列各式分母有理化：（1）()a b a b ≠+ （2）2222a a a a +--++- （3）2222b a b b a b-+++小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与； ②与； ③与； ④与．知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除【知识要点】1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a b =ab（a ≥0，b>0） 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

a b=a b （a ≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．【典型例题】【例16】化简(1)916⨯ (2)1681⨯ (3) 1525⋅ (4)229x y (0,0≥≥y x ) (5)12×632⨯ 【例17】计算（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）【例18】化简：(1)364 (2)22649b a )0,0(≥>b a (3)2964x y )0,0(>≥y x (4)25169x y )0,0(>≥y x 【例19】计算：(1)123(2)3128÷ (3)11416÷（4）648 【例20】能使等式22xxx x =--成立的的x 的取值范围是（ ）A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解知识点六：二次根式计算——二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。