常见几何体的面积、体积求法与应用要计算某材料的密度、重量，研究某物体性能及其物质结构等，特别对于机械专业的学生，必须要求工件的面积、体积等，若按课本上公式来计算，而课本上公式不统一，不好记住，并且很繁杂，应用时要找公式，对号入座很麻烦。

笔者在教学与实践中总结出一种计算常见几何体的面积、体积方法。

其公式统一，容易记住，且计算简单。

对技校学生来说，排除大部分繁琐的概念、定理，以及公式的推导应用等。

由统计学中的用加权平均数对估计未来很准确。

比如，估计某商品下个月销售量，若去年平均销售量为y ，设本月权为4，上月权数为1，下月权数为1，各月权数分别乘销售量相加后除以6等于y 。

这样能准确地确定下个月销售量。

能不能以这种思想方法用到求几何体的面积、体积呢？通过推导与实践，对于常见的几何体确实可用这种方法来求得其面积、体积。

下面分别说明求常见几何体的面积、体积统一公式的正确性与可用性。

常见几何体的面积、体积统一公式：)4(6)4(621002100S S S h V C C C h A ++=++=（其中A 为几何体侧面积，C 0为上底面周长，C 1为中间横截面周长，C 2为下底面周长，V 为几何体体积，S 0为上底面面积，S 1为中间横截面面积，S 2为下底面面积，h 为高，h 0为斜高或母线长。

注：中间横截面为上、下底等距离的截面。

）一、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的面积 、体积用统一公式的正确性1、棱柱：⑴据棱柱上底周长、下底周长、中间横截面周长相等，即21C C C ==，可得：2020210066)4(6C h C h C C C h =⋅=++，这与课本中的棱柱侧面积公式等同。

以下每个几何体都能推得与课本中相应公式等同，说明这统一公式的正确性。

⑵据棱柱上底面、下底面、中间横截面相等，可知：21S S S ==，即：h S S S S h S S S h V 2222210)4(6)4(6=++=++=。

2、棱锥⑴设底边长为a 2，边数为n ，斜高为h 0，侧面三角形中位线为a 1，则2121a a =，即2121C C =。

022********)2140(6)4(6h C C C h C C C h A =+⋅+=++=∴⑵设正棱锥底面n 边形中心点与边分割成n 块三角形，相应对应中间横截面也分割成n 块三角形，而每块对应三角形底边2121a a =，且高也为一半，即'21'21h h=2222211141'241'21212'2S h a n h a n h a nS =⋅=⋅⋅==∴则2222210326)4140(6)4(6S h S h S S h S S S h V =⋅=+⋅+=++=3、棱台⑴设上底面边长为a 0，中间横截面边长为a 1，下底面边长为a 2，则)(21201a a a +=，即)(21201C C C +=。

)(2)33(6])(214[6)4(6200200220002100C C h C C h C C C C h C C C h A +=+=++⋅+=++=∴⑵设正棱台'0h 为上底面中点与边所分割成三角形的高，'1h 为中间横截面相应分割成三角形的高，'2h 为下底面相应分割成三角形的高，则2020''a a h h =，即''2002h a h a=， )''''(8)''(21)(212'21220220002020111h a h a h a h a nh h a a n h na S +++=+⋅+⋅==∴])''''(84[6)4(62220220000210S h a h a h a h a nS h S S S h V ++++⋅+=++=∴ ]'2'2'2'2[62220220000S h a nh a n h a n h a n S h +++++= ]'2'2[622020200S S h a nh a n S S h +++++= )'2222(60220h a nS S h ⋅++= )'2(30220h a nS S h ++= )22(3'02'0220h a n h a n S S h ⋅++=)22(3'22'0020h a n h a n S S h ⋅++=)(32020S S S S h⋅++=注：以上几何体若底边长不相等时，同理可推得。

例：已知正四棱台容器量得斜高为1.3m ，上、下底面边长分别为0.8m 和1.8m ，求容器能盛多少水？解：3.1)8.18.0(21,2.1)28.08.1(3.1122=+==--=a h吨128.2128.2)8.13.148.0(62.1)4(63222210==+⨯+=++=m S S S h V则容器能盛2.128吨水。

4、圆柱设母线长为h 0，上底面半径为r 0，下底面半径长为r 2，中间横截面半径为r 1，则r 0=r 1=r 2022220210021002)282(6)2242(6)4(6h r r r r h r r r h C C C h A πππππππ=++=+⋅+=++=∴hr r h r r r h r r r h S S S h V 222222222222212021066)4(6)4(6)4(6ππππππππ=⋅=++=++=++=5、圆锥若母线长为h 0，底半径为r 2，中间横截面半径为r 1，则2121r r=220220210210066)22180(6)2240(6)4(6h r r h r r h r r h C C C h A ππππππ==+⋅+=+⋅+=++=∴)(6))21(40(6)40(6)4(6222222222221210r r h r r h r r h S S S h V ππππππ+=++=++=++=h r r h 22223126ππ==6、圆台若母线长为h 0，高为h ，上底面半径为r 0，中间横截面半径为r 1，下底面半径为r 2，则)(21201r r r+=。

)2242(6)4(621002100r r r h C C C h A πππ+⋅+=++=∴]2)(21242[622000r r r r h πππ++⋅⋅+=)2442(622000r r r r h ππππ+++= )(2)22(2200200C C h r r h +=+=ππ])(414[6)4(6)4(62222020222120210r r r r h r r r h S S S h V ππππππ++⋅+=++=++=)2(62222202020r r r r r r h πππππ++++= )222(6222020r r r r h πππ++=)(322202220r r r r hππππ⋅++=)(32020S S S S h ⋅++=例：某圆台工件量得大头直径为36毫米，小头直径为24毫米，长为180毫米，求体积。

解：∵180,15)1812(21,18,12120==+===h r r r322204.4141040)1815412(6180厘米πππππ==⋅+⋅⋅+⋅=∴V二、常见曲线围成面积与旋转体体积1、一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成面积可用：)4(6210y y y h A ++=⑴设一次函数：],0[h x b ax y ∈+=在的曲边梯形面积为：⎰+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=+=hhb ah hbh h a bx x a dx b ax A 0202)1()63(622)(而这时)(),2(),0(h f hf f 分别为210,,y y y 则b ah y b h a y b y +=+⋅==210,2,bah ah b ah b b ah b ha b y y y 63422)2(44210+=+++=+++⋅+=++∴，代入（1）可得)(6210y y y hA ++=⑵设二次函数：],0[2h x c bx axy ∈++=在上的曲边梯形面积为：⎰++=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅=++=hhc h b h a h ch h b h a cx x b x a dx c bx ax A 02230232)23(2323)()1()632(62c bh ah h ++=由)(),2(),0(h f hf f 分别为210,,y y y ， c bh ah y c h b h a y c y ++=++==∴22210,24,则c bh ah c h bh a c y y y ++++++=++22210)24(44bh ah c bh ah c +++++=22422c bh ah 6322++=，代入（1）可得：)4(6210y y y h A ++=⑶设三次函数：],0[23h x e cx bx axy ∈+++=在的曲边梯形面积为：⎰++⋅+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅+⋅=+++=hhehh c h b h a ex x c x b x a dx e cx bx ax A 0234023423234234)()1()63223(6)234(2323e ch bh ah h e h c h b h a h +++=+++=由)(),2(),0(h f h f f 分别为210,,y y y ，e ch bh ah y e h chbhay e y +++=+++==∴2322310,248,即ech bh ah e h chbhae y y y++++++++=++2323210)248(44e ch bh ah e ch bh h a e ++++++++=2323422ech bh h 6322323+++=，代入（1）可得：)4(6210y y y h A ++=综上所述，可得出一个结论：对于任何是由一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成的面积都可用：)(6210y y y h A ++=。

例：求]2,0[,1)(12)(32∈+=++=x x x x x x f φ与所围成的面积。

解：0)2()2(,2)1()1(,0)0()0(21=-==-==-=φφφf y f y f y38)0240(62=+⨯+=∴A 面积2、球、球缺、椭球、抛物面等几何体体积可用：)4(6210S S S h V ++=在所有旋转体要求体积时，若被积函数为一次函数、二次函数、三次函数据对前面推导可知，其体积都可用)4(6210S S S h V++=。