1
1
A1
B1
D F A E B
C
3.二面角的概念 二面角的概念
A B α β O B A
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱。 二面角。 图形叫做二面角。 二面角的棱。 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 二面角的面。 这两个半平面叫做二面角的面。
（1）证明： A1C ⊥ 平面 BED ； ）证明： 余弦值． （2）求二面角 A1 − DE − B 的余弦值． ）
三垂线定理、 三垂线定理、或逆定理
二面角的求法
1）作垂线 ） 2）作垂面 ） 3）三垂线定理、或逆定理 ）三垂线定理、
0
(1)证明： AB ⊥ A1C ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 证明： 证明 余弦值 （2）求二面角 A— A1C —B 的余弦值。 ）
作垂线
问 题 6. 如 图 ， 正 四 棱 柱 ABCD − A1B1C1D1 中 ，
AA1 = 2 AB = 4 ，点 E 在 CC1 上且 C1 E = 3EC ．
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
B1 B β
？ ∠A O B
1 1
1
平面角是直角的二 平面角是直角的二 直角 面角叫做直二面角 面角叫做直二面角 l
O1 A1 α
O
9
A
以二面角的棱上任意一点为端点， 以二面角的棱上任意一点为端点，在 棱上任意一点为端点 两个面内分别作垂直于棱的两条射线 分别作垂直于棱的两条射线， 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角的平面角。 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足： 二面角的平面角必须满足： 1）角的顶点在棱上 ） 2）角的两边分别在两个面内 ） α 3）角的边都要垂直于二面角的棱 ） 此
二面角α—l—β 二面角
表示法
6
或二面角α—AB—β 或二面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线 分别作垂直于棱的两条射线， 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角的平面角。 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
1、找到或作出二面角的平面角 、
2、证明
（指出）1中的角就是所求的 指出） 中的角就是所求的
角 3、计算出此角的大小 、
一“作”二“证”三“计算” 计算”
16
为矩形， 问题 4.四棱锥 A− BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC⊥底面 四棱锥
BCDE ， BC= 2， CD= 2 ， AB = AC ．
空间中角度的求法
1.两异面直线所成的角 1.两异面直线所成的角
①平移法 ②补形法 上非零向量a、 的 ③向量法：求两异面直线a、b上非零向量 、b的 向量法：求两异面直线 、 上非零向量 夹角（注意异面直线成角范围） 夹角（注意异面直线成角范围）
问题1.在如图所示正方体 问题1.在如图所示正方体 分别是AB、 的中 中,E、F分别是 、AD的中 、 分别是 异面直线BF、 点，求异面直线 、C1E所 所 成的角的余弦值. 成的角的余弦值
问题3.在正四棱柱 底面的边长AB=2,E 问题 在正四棱柱AC1中,底面的边长 在正四棱柱 底面的边长 为线段AB的中点 为线段AD上的点 的中点,F为线段 上的点,点 在 为线段 的中点 为线段 上的点 点C在 平面C1EF上的射影 为△ C1EF的重心 平面 上的射影H为 的重心. 上的射影 的重心 (1)求证 求证:AF=FD; 求证 (2)求BF与平面 1EF所成角的大小正弦值 C 与平面C 所成角的大小正弦值. 求 与平面 所成角的大小正弦值 D
1.作出斜线在平面内的射影 作出斜线在平面内的射影 2.证明角是直线与平面所成的角 证明角是直线与面所成的角 3.解直角三角形或解三角形，求出结果 解直角三角形或解三角形， 解直角三角形或解三角形
（2）等积求高法：利用三棱锥调换顶点时体积相 ）等积求高法： 求出斜线上的点到相应平面的距离. 等，求出斜线上的点到相应平面的距离
（1）证明： AD ⊥ CE ； ）证明： 为等边三角形， 的余弦值． （2） ） 设侧面 ABC 为等边三角形， 求二面角 C − AD− E 的余弦值．
A
B
作垂面
C D
E
1 1 问 题 5. 如 图 ， 直 三 棱 柱 ABC − ABC1 中 ， AB=1 ，
AC = AA = 3 ，∠ABC=60 . 1
角是0°
思考
• 直线与平面所成的角θ的取值范围 直线与平面所成的角θ 与平面所成的角
0≤θ≤π/2
是：
。
• 斜线与平面所成的角θ的取值范围 斜线与平面所成的角θ 与平面所成的角
0＜θ＜π/2 ＜ ＜
是：
。
斜线和平面所成的角的求法
（1）射影法：在线上取一点作面的垂线，斜 ）射影法：在线上取一点作面的垂线， 足与垂足的连线与斜线所成的角即为所求。 足与垂足的连线与斜线所成的角即为所求。 问题2.正方体 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为 1 、 分别为BB 问题 正方体 、 分别为 CD的中点，(1)求直线 1F与平面 的中点， 求直线 求直线D 与平面 与平面ADE所成的角 (2) 所成的角. 的中点 所成的角 求D1E与平面 与平面ADE所成的角正弦值 所成的角正弦值. 与平面 所成的角正弦值 求斜线与平面所成的角可以分三步
注意：
A
α
图
A O
l
O
10
正 确 ？
β B β B
×
二面角的平面角的作法： 二面角的平面角的作法：
1、定义法 根据定义作出来
A
α
l
O B
β β
B
2、垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到 3、三垂线定理法 借助三垂线定理或 其逆定理作出来
12
α
l
O
γ
A A
α
O
D
l
β
二面角的计算步骤： 二面角的计算步骤：
2.直线与平面所成的角 直线与平面所成的角
• 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，
斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角） 斜线和平面的夹角）
• 直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角 直线和平面垂直<＝ 直线和平面所成的角是直角 • 直线和平面平行或在平面内 ＝>直线和平面所成的 直线和平面平行或在平面内<＝ 直线和平面所成的
[00，1800]
二面角的范围
3
角 A 边 图形 顶点 O 边 B A 棱a B
二面角 β 面 面 α
定义
从一点出发的两 条射线所组成的 图形叫做角 图形叫做角。
边—点—边 点 边 （顶点） 顶点）
∠AOB
构成
从一条直线出发的 两个半平面所组成 的图形叫做二面角 二面角。 的图形叫做二面角。 面—直线 面 直线—面 直线 （棱）