它是一个严格的对角占优矩阵，所以 迭代法和 迭代法都收敛。
25.解：迭代矩阵 ，
，
， ，所以Jacobi迭代法不收敛。
26.解：（1）将方程改写为： ，利用图象可判断出存在唯一的一个根 （2）迭代格式为： ，迭代函数为： ，则 ，
因为 ，所以迭代是收敛的。
27.解：记
则
对应的迭代函数： ，则 ，
所以 ，即迭代法是收敛的
10.已知函数 的下列数值，试用两点和三点微分公式计算 的一阶和二阶导数。
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741
11.求公式 的代数精度。
12.确定求积公式 中的待定系数,使代数精度尽可能的高,并指出代数精度。
13.确定求积公式 中的待定系数,使代数精度尽可能的高,并指出代数精度.
解之： ，积分公式为： ，
由于当 时，左= 右= 。
所以积分公式具有二次代数精度。
14.解：令 ，代入积分公式，有
解之： ，
积分公式为：
由于， ，
所以积分公式具有三次代数精度
15.解：由 ，有
又由于 ，故 只有一位整数，因此要使积分的近似值有5位有效数字，其截断误差应满足
解得 ，因此取 ，即将区间[0，1]68等份就可满足要求
11.解：取 代入公式，得到：
当 左边=1，右边=1。当 ，左边= ，右边= ，
当 ，左边= ，右边= ,当 ，左边= ，右边= ，
当 ，左边= ，右边= ，
所以公式具有三次代数精度。
12.解：令 ，代入积分公式，有
解之： ,积分公式为： ，
由于当 时，左= 右= ,
所以积分公式具有一次代数精度。
13.解：令 ，代入积分公式，有
《计算方法》课程习题集
一、计算题
1.已知 ，求 的二次插值多项式。
2.已知 ，求 ，
3.分别用拉格朗日插值和牛顿插值构造过点（-1，-3），（1，0），（2，4）的二次插值多项式并给出插值余项.
4.利用牛顿插值对如下数据构造一个三次插值多项式 ，并求 .
0 1 2 3
1 3 9 27
5.分别用拉格朗日插值和牛顿插值构造过点（-3，-1），（0，2），（3，-2）的二次插值多项式并给出插值余项.
21.对于方程组 ，写出 迭代的迭代格式并判断是否收敛。
22.对于方程组 ，分析Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代的收敛性。
23.设线性方程组的系数矩阵为 ，求能使Jacobi迭代收敛的 的取值范围
24.用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代于方程组 是否收敛？为什么？若将两个方程对调，结论又如何？
28.解：（1）迭代公式为：
（2）对应的迭代函数为 ， ，
由于 ， ，所以该迭代法是收敛的。
29.解：采用Newton迭代法， ，
迭代函数为： ，则
由于 故迭代法二阶收敛
30.解：（1）设 ，则求 的正根就是求 。由于
，
故方程在[10，11]内有唯一正根。
（2）由于 ，故可取 ，用牛顿法
可得
故可取 。
30.利用牛顿迭代法求 的近似值。（保留小数点后6位）
二、计算题1
（略）……
答案
1.解：（1）
=
2.解：利用差商和导数的关系， ,
因为 是7次多项式，所以 ，
所以 ， 。
3.解：拉格朗日插值：
，
， ，
， ,
牛顿插值：
，
插值余项为：
4.解：差商值分别为：
，
5.解：（1）拉格朗日插值多项式为：
（2）由计算可得：
一、计算题1
（略）……
25.对于方程组 ，写出Jacobi迭代的迭代矩阵并判断是否收敛
26.给定方程 ，（1）分析该方程有几个根以及根所在的大致区间，（2）给出求根的迭代格式，并判断是否收敛。
27.利用迭代法的思想，给出求 的迭代格式，并讨论收敛性
28.设 ， ，（1）构造 的迭代公式（2）讨论收敛性.
29.应用Newton法于方程 ，求 迭代公式，并讨论收敛阶数。
， ，
所以牛顿插值多项式为：
（3）误差估计： ，
6.解： ， ， ， ，
， ， 。
法方程组为： 。
7.解： ， ， ， .
法方程组为：
解之： ，所以 。
8.解： ， ， ， 。
法方程组为 ，
解之 ，所以 。
七、9.解：
法方程组为： ，
解出：
10.解： 取 ，两点公式有两种：
（1）当 时，
（2） ，
三点公式取 ，
所以Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代都收敛。
23.解： 时， 迭代的迭代矩阵是： ，
由 得
所以当 的时候， ， 迭代收敛。
24.解：（1）对原方程组， 迭代矩阵是： ，
，
所以 迭代法不收敛。
迭代法的迭代矩阵： ，
由 ，知 ,所以 法也是不收敛的。（2）若方程组交换方程的顺序后，系数矩阵变为 ，
14.确定求积公式 中的待定系数,使代数精度尽可能的高,并指出代数精度.
15.计算积分 ，若用复化梯形公式，问区间应分为多少份，才能保证计算结果有5位有效数字？
16.用高斯消去法解方程组
17.用高斯消去法求解线性方程组：
18.求矩阵 的LU分解
19.用高斯消去法求解
20.用列主元高斯消去法解线性方程组
16.解：增广矩阵的变换为
，
等价于方程组：
，解之， 。
17.解：消元过程： ，
回代可求出： 。
18.解：
，
， ，
，
所以
19.解：增广矩阵变换为：
等价于方程组
， 所，方程组的解为
20.解：
等价的三角方程组为
回代可得 。
21.解：迭代格式： ， ，
。 ，所以迭代不收敛.
22.解：因为系数矩阵 是严格的对角占优矩阵，
6.已知实验数据，用最小二乘法作二次多项式的数据拟合，写出法方程（不求解）。
x
1 2 3 4 5
y
1 4 7 8 6
7.实验数据给定如下，试用最小二乘法求经验直线 .
0 1 2 3 4 5
1 2 4 4.5 5 6
8.实验数据给定如下，试用最小二乘法求经验直线 。
2 4 6 8
2 11 28 40
9.求矛盾方程的最小二乘解: