I h ( xk )
x x k 1 x xk yk y k 1 x k x k 1 x k 1 x k
于是, I h ( x ) 在 [a, b] 上是连续的，但其一阶导数是不连续的。 于是即可得到如下分段线性插值函数：
I n ( x ) yi li ( x )
【关键字】
Lagrange 插值
加密插值节点
分段插值
Runge 现象
3
一、实验题目
(一)、实验目的
研究 Runge 现象，并给出解决方案。
（二）、实验要求
就给定的函数研究不同插值点情况下对应的插值函数与给定函数 之间的误差，并且用程序实现。
（三） 、实验内容
对区间 [1,1] 作等距划分： xk 1 kh (k 0,1, n) ， h 2 / n ， 分别取 n 10,20,30 以 xk ( k 0,1, , n ) 为节点对函数 f ( x )
j 0 j i
n
1
( xi x j )
j 0 j i
n
, i 0,1, , n.
总之，Ln ( x ) li ( x ) yi ， li ( x )
i 0
j 0 j i
n
n
x xj xi x j
. 式为 n 阶 Lagrange 插值公式，
其中， li ( x) (i 0,1, n) 称为 n 阶 Lagrange 插值的基函数。 分别计算题中函数 10、20、30 个插值节点的值，再分别拟合出不同的 插值函数与原函数进行比较，计算误差。 (2)方法二：分段线性插值法 给定区间 a, b , 将其分割成 a x0 x1 xn b ,已知函数 f y ( x) 在这些插值结点的函数值为 yk f ( xk ) k (0,1, , n) 求一个分段函数 I k ( x ) , 使其满足： (1) I h ( xk ) yk ， k (0,1, , n) ; (2) 在每个区间 xk , xk 1 上, I h ( x ) 是个一次函数。 易知， I h ( x ) 是个折线函数, 在每个区间 xk , xk 1 上, k (0,1, , n)
7
当 n 为 10 时，得到图 1.1：
图 1.1
n 为 10 时,lagrange 插值函数与原函数的比较
当 n 为 20 时，得到图 1.2:
图 1.2
n 为 20 时,lagrange 插值函数与原函数的比较
8
当 n 为 30 时，得到图 1.3:
图 1.3
n 为 30 时,lagrange 插值函数与原函数的比较
成绩：
重庆邮电大学数理学院 《数值计算方法》课程设计
Runge 现象
题
目：
组
Hale Waihona Puke 员：指导教师：尹龙军
完成日期：
2014 年 12 月 29 日
重庆邮电大学数理学院 制
1
目
录
摘要----------------------------------------------------------------------------------------------3 一、实验题目----------------------------------------------------------------------------------4 （一） 、实验目的----------------------------------------------------------------------------4 （二） 、实验要求----------------------------------------------------------------------------4 （三） 、实验内容----------------------------------------------------------------------------4 1.问题分析------------------------------------------------------------------------------4 2.理论分析------------------------------------------------------------------------------5 (1)方法一-----------------------------------------------------------------------------5 (2)方法二-----------------------------------------------------------------------------6 3.程序设计------------------------------------------------------------------------------7 (1) 算法设计一---------------------------------------------------------------------7 (2)程序实现及结果一-------------------------------------------------------------7 (3) 算法设计二---------------------------------------------------------------------9 (4) 程序实现及结果二-----------------------------------------------------------10 二、运行环境--------------------------------------------------------------------------------12 三、运行结果分析及应用-----------------------------------------------------------------12 四、实验心得--------------------------------------------------------------------------------13 五、参考文献--------------------------------------------------------------------------------14 六、附录--------------------------------------------------------------------------------------15

Ln ( x ) l0 ( x ) y0 ln ( x ) yn .
其中， li ( x) 均为 n 次多项式，由 x j ( j i ) 为 n 次多项式 li ( x) 的 n 个根知
li ( x ) c ( x x j )
j 0 j i n
.
5
最后，由
li ( x j ) c ( xi x j ) 1 c
4
2. 理论分析 (1) 方法一: 拉格朗日插值法
基本概念
已知函数 y f ( x) 在若干点 xi 的函数值 yi f xi (i 0,1, n) 一 个差值问题就是求一“简单”的函数 p( x ) :
p( xi ) yi , (i 0,1, n)
(1)
则 p ( x) 为 f ( x) 的插值函数，而 f ( x) 为被插值函数会插值原函数，
x0 , x1 , xn 为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点 x 求 f ( x ) 数值
解，我们称 x 为一个插值节点， f ( x ) f ( x ) 称为 x 点的插值。 当 x min( x0 , x1 , , xn ), max( x0 , x1 , , xn ) 时，称为内插,否则称为外插 式外推，特别地，当 p( x ) 为不超过 n 次多项式时称为 n 阶 Lagrange 插值. Lagrange 插值公式 设已知 x0 , x1 , xn 及 yi f xi (i 0,1, n) , Ln ( x ) 为不超过 n 次多项式 且满足 Ln ( xi ) yi (i 0,1, n) .易知：
由以上 3 个图我们可以看出，当函数 f ( x )
1 在区间 1,1之间随 1 25 x 2
着插值点个数的增加，所得的 lagrange 插值函数与原函数的误差变大。 (3)算法设计二 由上面所算出的插值点的数值，选取每两个相邻的插值节点做线性插 值，由公式
i 1 i i ( x ) x x yi 1 yi i 1 i xi xi 1
i 0 n
6
其中
x xi 1 xi 1 x xi ,1 i n x x i i 1 li x xi 1 xi x xi 1 ,1 i n 1 xi xi 1 0
3. 程序设计 (1) 算法设计一 分别计算对区间 [1,1] 作等距划分：xk 1 kh (k 0,1, n) ，h 2 / n ， 分 别取 n 10,20,30 时， xk 对应的值。然后按照公式：
2 xi 1 (i 1) , i {1,2, , n 1} n
这样的等距点 xi 进行插值，那么在接近端点−1 与 1 的地方插值结果就 会出现震荡。 可以证明，在多项式的阶数增高时插值误差甚至会趋向无限大：
lim( max f ( x ) pn ( x ) )
n 1 x 1
li ( x )
j 0 j i n
x xj xi x j
.
Ln ( x ) li ( x ) yi