函数与导数 经典题与易错题一、选择题与填空题 1．（山东大学教授自编题）设定义在（0,1）上的四个函数：1234()2,()ln ,()21,()sin 2x f x f x x f x x f x x π===-=，其中满足性质：“12(0,1),[0,1]x x λ∈对区间中任意的和任意都有[]1212(1)()(1)()fx x f x f x λλλλ+-≥+-恒成立”的有132234(A)(),()(B)()(C)(),()(D)()f x f x f x f x f x f x错点分析：不会使用特殊值法，不会判断函数的凹凸性。

2.设()f x =则 f (－12)＋f (－11)+ f (－10)++ f (0)++ f (11)+ f (12)+ f (13)的值为（ ）A B . C D 错点分析：想不到使用倒序相加法求和3.若函数y =)1(log 2+-ax x a 有最小值，则a 的取值范围是 ( )A.0<a <1B. 0<a <2，a≠1C. 1<a <2D.a ≥24.设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在（0,1）内有两不同的根，则m+k 的最小 值为（ ）（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 13 5.已知函数在R 上是偶函数，对任意都有，当且时，，给出如下命题① ②直线x=-6是图象的一条对称轴③函数在上为增函数④函数在上有四个零点；其中所有正确命题的序号为（ ） (A)①②(B)②④(C)①②③（D)①②④6.设定义域为R 的函数⎩⎨⎧-=12lg )(x x f )2()2(=≠x x ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰有5个不同的实数解54321,,,,x x x x x ，则)(54321x x x x x f ++++的值等于（ ）A. 0B. 2lg 2C. 2lg 3D. 17.已知函数2()lg ax a f x x+-=在区间[1，2]上是增函数，则实数a 的取值范围是8.已知函数x ax x x f 331)(23++=在（0， 1）上不是单调函数，则实数a 的取值范围为①若)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称； ②)2(-x f 与)2(x f -的图象关于直线2=x 对称；③若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称； ④若)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称. 正确命题的序号是 10．函数x x x f lg sin )(-=的零点的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11．用min{a ，b ，c }表示a 、b 、c 三个数中的最小值，设}10,2,2m in{)(x x x f x-+=（x ≥0），则)(x f 的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．712.已知函数x e x f x+=)(，对于曲线y=)(x f 上横坐标成等差数列的三个点A ， B ，C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形；②△ABC 可能是直角三角形；③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形。

其中，正确的判断是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④13．设定义域为R 的函数，则关于的方程f 2(x )+bf (x )+c=0有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．b ＜0且c ＞0B ．b ＞0且c ＜0C ．b ＜0且c=0D ．b ≥0且c=014．设函数x y lg =和10xy =分别与直线3y x =-的交点为A 11(,)x y 和B 22(,)x y ，则12x x += 15．函数的最小值为___________。

16．已知α、β是三次函数3211()2(,)32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则32b a --的取值范围是A ．2(,)5-∞B ．2(,1)5C ．(1,)+∞D ．2(,)(1,)5-∞⋃+∞17．定积分⎰=18.椭圆22143x y +=所围成的封闭图形的面积为 19.在区间[0,2]上任取两个实数a ，b ，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率是____ __．20.5310x x -++≥的解集是 21.x R ∃∈使得不等式53x x a --+>成立，则a 的取值范围是22.若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间[]b a ,，且b －a ＝２，则k23．设()f x 在区间(,)-∞+∞可导，其导数为'()f x ，给出下列四组条件： ①()p f x ：是奇函数，:()q f x '是偶函数②()p f x ：是以T 为周期的函数，:()q f x '是以T 为周期的函数③()p f x ：在区间(,)-∞+∞上为增函数，:()0q f x '>在(,)-∞+∞恒成立④()p f x ：在0x 处取得极值，0:()0q f x '= 则满足“若p 则q 为真命题”的是A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、解答题：24、已知函数32()3f x ax bx x =+-在1±=x 处取得极值。

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[1,1]-上任意两个自变量的值12,x x ，都有4|)()(|21≤-x f x f ； （Ⅲ）若过点(1,)A m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围。

25、已知函数xax x f -=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R . （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数4)(2+-=mx x x h , 当2=a 时，若)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有)()(21x h x g ≥成立，求实数m 的取值范围．26．一类函数与数列不等式的证明： （1）求证：ln(1)x x +<（2）求证：*222111ln(1)ln(1)ln(1)1()23n N n++++⋅⋅⋅++<∈（3）求证：*111ln(1)1()23n n N n+<+++⋅⋅⋅+∈（4）求证：*111ln 2()12(1)n N n n n n ++⋅⋅⋅+>∈++++（5）求证：*211ln()()n n n N n n++<∈（6）求证：*23111ln(1)()n N n n n+>-∈27．已知函数()2ln(1)(0)f x a x x a =+->. （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：(1)lg lg lg 4lg lg (1)23nn n ne e e e e n n +⎡⎤+++⋅⋅⋅+>+⎢⎥⎢⎥⎣⎦*()n N ∈解：（Ⅰ）定义域为()1,-+∞， 2'()11af x x=-+………2分令'()0121f x x a >⇒-<<-，令'()021f x x a <⇒>- 故()f x 的单调递增区间为()1,21a --，()f x 的单调递减区间为()21,a -+∞…………4分()f x 的极大值为2ln 221a a a -+…………………………………………6分（Ⅱ）证：要证(1)lg lg lg 4lg lg (1)23n nn n e e ee e n n++++⋅⋅⋅+>+即证(1)111l g (1)423l g n n nn e n n e +++++⋅⋅⋅+>， 即证(1)1114ln (1)23n n nn e n n ++++⋅⋅⋅+>+即证111113l n (1)(1)23n n n n +++⋅⋅⋅++>+++……………………8分 令12a =，由（Ⅰ）可知()f x 在(0,)+∞上递减，故()(0)0f x f <= 即l n (1)x x +<，令*1()x n N n =∈，故111l n (1)l n l n (1)l n n n n n n n ++==+-< 累加得，111l n (1)123n n+<+++⋅⋅⋅+………………………………11分1111l n (1)l n (1)1(1)3n n e n n n n +<⇒+<⇒+<< 故111113l n (1)(1)23n n n n+++⋅⋅⋅++>+++，得证………………14分法二：1(1)n n +=0122111n n n n n n C C C C n n n +++⋅⋅⋅+11122!3!!n <+++⋅⋅⋅+ 21112222n <+++⋅⋅⋅+ 1111(1)1222331212n n ---=+=-<-…………11分，其余相同证法.28.已知函数()(0)bf x ax c a x=++>在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-， （I ）用a 表示,b c ；（II ）若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（III ）证明不等式：*1111ln(1)()232(1)n n n N n n +++⋅⋅⋅+>++∈+ （III ）在n>=1时，构造函数法证明。

注意到ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1),而n/(n+1)=1-1/(n+1)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)].于是根据要证明的表达式，两边取通项(x=1/n)构造函数f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,求导易得f'(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,x>0.于是f(x)在x>0上单调递增，又f(x)可在x=0处连续，则f(x)>f(0)=0,x>0得x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],x>0.再取1/n(>0)替换x 有1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)]将此不等式式中的n 依次从1取到n ，累加得1+1/2+1/3+...+1/n>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1)}+(1/2){(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)]}=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)]=ln(n+1)+n/[2(n+1)]，即1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)+n/2(n+1) n≥1 命题得证。