函数的定义域与值域、单调性与奇偶性一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。

（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。

2. 求函数的定义域求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k xkx y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+=k xkx y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

5. 函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。

f （x ） －f （－x ）＝0⇔f （x ） ＝f （－x ） ⇔f （x ）为偶函数；f （x ）+f （－x ）＝0⇔f （x ） ＝－f （－x ） ⇔f （x ）为奇函数。

判别方法：定义法，图象法，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。

6. 周期性：定义：若函数f （x ）对定义域内的任意x 满足：f （x+T ）＝f （x ），则T 为函数f （x ）的周期。

其他：若函数f （x ）对定义域内的任意x 满足：f （x+a ）＝f （x －a ），则2a 为函数f （x ）的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

二、典型例题分析例1. 若集合A ＝{a 1，a 2，a 3}，B ＝{b 1，b 2} 求从集合A 到集合B 的映射的个数。

分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A 、B 是两个集合，对于集合A 中的任何一个元素，按照某种对应法则f ，若集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f 叫做从集合A 到集合B 的映射。

这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。

对于本例，集合A ＝{a 1，a 2，a 3}中的每一个元素的象都有b 1或b 2这两种情形，由乘法原理可知，A 到B 的映射的个数共有N ＝2·2·2＝8个。

例2. 线段|BC|＝4，BC 的中点为M ，点A 与B 、C 两点的距离之和为6，设|AM|＝y ，|AB|＝x ，求y ＝f （x ）的函数表达式及这函数的定义域。

解：1°若A 、B 、C 三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，x 2＝22+y 2－4ycos ∠AMB ①（6－x ）2＝22+y 2－4ycos （180°－∠AMB ） ② ①+② x 2+（6－x ）2＝2y 2+8 ∴y 2＝x 2－6x+14 又 x 2－6x+14＝（x －3）2+5恒正，∴1462+-=x x y 又三点A 、B 、C 能构成三角形⎪⎩⎪⎨⎧>-+->+>-+∴x x x x x x )6(4644)6( ∴1＜x ＜52°若三点A 、B 、C 共线，由题意可知， x+4＝6－x ，x ＝1 或4+6－x ＝x x ＝5综上所述：1462+-=x x y )51(≤≤x说明：第一，首先要分析三点A 、B 、C 是否在同一条直线上，因为由题意，A 、B 、C 不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。

第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。

例3. 设f （x ）为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y ＝f （x ）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y ＝f （x ）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线，试写出函数f （x ）的表达式，并在图中作出其图象。

解：（1）当x ≤－1时，设f （x ）＝x+b∵射线过点（－2，0） ∴0＝－2+b 即b ＝2，∴f （x ）＝x+2 （2）当－1<x<1时，设f （x ）＝ax 2+2 ∵抛物线过点（－1，1），∴1＝a ·（－1）2+2，即a ＝－1 ∴f （x ）＝－x 2+2（3）当x ≥1时，f （x ）＝－x+2综上可知：f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,22x x x x x x 作图由读者来完成。

例4. 求下列函数的定义域 （1）2|1|)43(432-+--=x x x y （2）)103(log 22327---=x x y解：（1）⎩⎨⎧-≠≠⇒≠-+≥-≤⇒≥--3102|1|410432x x x x x x x 且或∴x ≥4或x ≤－1且x ≠－3，即函数的定义域为（－∞，－3）∪（－3，－1）∪[4，+∞]（2）0327)103(log 22≥---x x，则3)103(log 22≤--x x∴ 0<x 2－3x －10≤8，即⎪⎩⎪⎨⎧>-<⇒>--≤≤-⇒≤--52010363810322x x x x x x x 或 ∴－3≤x ＜－2或5＜x ≤6即定义域为[－3，－2]∪（5，6） 说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。

求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。

变、已知函数f （x ）的定义域为[－1，4]，求)21(+xf 的定义域。

解：4211<+≤-x ，则213<≤-x 又 01≠x ，∴013<≤-x或210<<x则31-≤x 或21>x 即为所求函数的定义域。

说明：此题实质上是求复合函数的定义域，我们把)21(+=xf y 看成是由y ＝f （u ）、21+=x u 两个函数复合而成的，因为－1≤u ＜4，则4211<+≤-x，从而求出x 的范围，另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。

例5. 若对于任何实数x ，不等式：a x x >-+-|2|2|1|恒成立，求实数a 的取值范围。

解：令f （x ）＝|x －1|+2|x －2|，去绝对值把f （x ）表示成分段函数后为5－ x ＜1f （x ）＝ 3－x 1≤x ≤2 3x －5 x ＞2作出y ＝f （x ）的图象如图，由此可知f （x ）的最小值为1，f （x ）＞a 对一切实数x 恒成立，则a ＜1。

说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x 的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。

另外，对于函数f （x ）＝|x －1|+2|x －2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。

例6. 求函数x x x f 41332)(-+-=的值域。

解：令0413≥=-t x ，则13－4x ＝t 24132t x -=∴4)1(21321322+--=+--=t t t y 该二次函数的对称轴为t ＝1，又t ≥0由二次函数的性质可知y ≤4，当且仅当t ＝1即x ＝3时等式成立，∴原函数的值域为（－∞，4）。

说明：对于所有形如d cx b ax y +++=的函数，求值域时我们可以用换元法令 0≥=+t d cx 转化为关于t 的二次函数在区间[0，+∞）上的最值来处理。

这里要注意t≥0的范围不能少。

如：已知f （x ）的值域为]94, 83[，试求函数)(21)(x f x f y -+=的值域。

该题我们只需要把f （x ）看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x 的一次式，而含x 的平方项，则就不能用上述换元法了。

如求函数241x x y --=的值域，若令t x =-21，则x 无法用t 来表示。

这里我们如果注意到x 的取值范围：－2≤x ≤2，则－1≤2x ≤1的话，我们就可以用三角换元：令θcos 2=xθ∈[0，π]，问题也就转化为三角函数求最值了。

同样我们作三角换元时，要注意θ的限制条件，因为当θ取遍0到π之间的每一个值时，2x恰好可以取遍－1到1之间的每一个值，若不限制θ的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。

例7. 求下列函数的最值。

（1）372x x y --+=（2）21||x x y -⋅=解：（1）先求出函数的定义域：⎩⎨⎧≥-≥+0702x x∴－2≤x ≤7，又在区间[－2，7]上函数21+=x y 单调递增，x y --=72单调递增，所以372x x y --+=在定义域内也单调递增。

当x ＝－2时，3min 3-=y ；当x ＝7时，3max 3=y（2）∵21||x x -⋅≥0 ∴y 2＝x 2（1－x 2）由基本不等式可知：y 2＝x 2（1－x 2）≤41]2)1([222=-+x x ，又y ≥0 ∴0min =y ，21max =y 。

说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。