P
*
x
?A
太原理工大学物理系
P点落后于 O点的振动时间为 x/u
?
y(x，t) ?
A cos[?
(t
?
x u
)
?
?
0
]
由 ? ? 2?? ? 2? T 和 u ? ??
Ay u
P
Ox *
x
y ( x，t )
?
A cos[2?
(? t ?
x
?
)
?
?
?A 0]
y(x，t) ?
A cos[2?
(t T
?
△ §12-2 平面简谐波的波函数
一、平面简谐波的波函数
1.建立波函数 (波动方程 )
一列平面余弦简谐行波 ,在无吸收均匀无限大
介质中沿 x轴正方向传播，波速为 u 。取任意一波
? 线为x 轴，O点为坐标原点。设原点 O处质点的振动
方程为：
Ay u
y0 (t) ? Acos(? t ? ? 0 )
Ox
2? ?
x
?
?
0
? ?
?
— 表示x处质点的振动方程
T
2）t给定，有
y(x,t) ?
A cos ???? t ?
2? x ?
?
?
0
? ??
——t时刻 波线上各质点相对
于平衡位置的位移，即 该时
刻的波形 （集体定格） 。
P33 ，图 12-5下第1段1-3 行
太原理工大学物理系
P33 ，图 12-5下第 2段1-2 行
? u?
练P60,11
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2.已知某时刻的波形图，求波函数（波动方程）。
例2 图为一简谐波在 t ? 0 时的波形图，频率
? ? 250Hz 且此时质点 P的运动方向向下，求：
（1）原点处质点的振动方程； （2）该波的波动方程； （3）在距原点 100m处质点的振动方程和振动速度 表达式。
解答见教案附
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例3 一平面简谐波沿 x轴正向传播，其振幅为 A，
频率为 ,波?速为u，设 时t刻′的波形曲线如图。
求：（1）原点处质点振动方程 ；
y(m)
A
（2） 该?波的波动方程。 u
o
x(m)
-A
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解一 （1）设o点振动方程
由图： t=t′时，
y(m )
? u
x
?
)
?
?
0
]
y(x，t) ?
A cos[2? ?
(x ? ut) ? ? 0 ]
波动方程是波线上各质点的振动方程
P32，12.6式及以下
太原理工大学物理系
2.波函数的物理意义
P33 ，12.10 式下第 1行
y
?
A cos?[
(t ?
x)? u
?0]
1）x给定，有
y(x,t) ?
Acos ???? t ?
波沿 x 负向
y
?
A cos[?
(t ?
x u
)
?
?
0
]
(x ? 0)
太原理工大学物理系
y ? A 无限大介质
cos[
y ? A cos[
?
(t
?
x) u
?
?0]
波源在－ ∞
x
?
(t
?
) u
?
?0]
波源在＋ ∞
4）波速u与质点振动速度 v不同
振动速度
v ? ?y
? ? A? sin[
?t x不变
?
Acos[?
(t
?
x
u) ? ? 0]? Acos{? [(t
?
? t) ?
x
?? u
x
]
?
?
0}
即 ?t? ?x ? 0 u
? x ? u? t
说明：x处质点的振动状态是以速度 u向前传播的 ，
经过 ? t时间向前传播了 ? x=u? t 的距离。整个波形
也就以速度 u向前传播。可见， 波速 就是振动状态 的传播速度，也就是 波形的传播速度。
?
?
0
]
y?
A cos[
2? ?
(x ? ut) ? ? 0 ]
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2）波函数中 x项前符号，表示波的传播方向，即 “－”号表示波沿 x正向传播； “+”号表示波沿 x负向传播。
3）波动方程本身与已知点是否是波源或、原点无关。 波源本身限制 x取值范围。
如：波源在 x=0处，
x
波沿x正向 y ? A cos[? (t ? u ) ? ? 0 ] (x ? 0)
于零，所以在 t=t′时刻o点的相位等于 ?/2
2??
t ??
?0
?
?
2
y/m
u
A
? ? 0
?
?
2
?
2??
t?
?A
o
x /m
O
y
-A
太原理工大学物理系
x=0处振动方程为
y ? A cos[2 ?? (t ? t?) ? ? ] m
2
（2）该波的波动方程
因波沿 x 正向传播，故波的波动方程为
3) 若x,t均变化，波函数表示波线上所有质点在不同 时刻的位移 ——描述了波形的传播（行波） .
y
u
t 时刻
t ? ? t 时刻
O
x
x
?x
x处质点在 t时刻的振动状态经 ? t 时间后，沿
着波的传播方向到达 (x ? ? x)处，故有
y(t，x) ? y(t ? ? t，x ? ? x)
太原理工大学物理系
(t
?
x )
u
?
?0]
振动加速度
a ? ?v
? ? A? 2 cos[
?t x不变
?
(t
?
x) u
?
?
0
]
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二、波动的微分方程
将沿x轴正方向传播的平面简谐波式 (1)分别对x和t
求二阶偏导数，有
?2y ?x2
?
－
A? 2
u2
cos?[
(t
?
x) u
?
?
0]
比较可得
?2y ?t2
?
?
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?
3.说明：
Ay u
1）若波沿 x轴负方向传播
P点的振动比 0点的振动超前 O
x /u ，因而 波函数为
x
?A
x
P
*
x
y ? A cos[ ? (t ? u ) ? ? 0 ]
P34，12.11 式
y?
A cos[2
? (? t ?
x
?
)
?
?
0
]
y?
A cos[2
?(t
T
?
x
?
)
例1 一平面简谐波沿 x轴正方向传播 ,波速为u。 已知距原点 x0处的P0点处质点振动方程为 y=A cosωt ，求波函数（波动方程）。
解：在x轴上任取一点 P， 其坐标为 x，振动由 P0点 传到 P 点所需的时间为 （x -x 0）/u ，因而 P处质 点t时刻的波动方程为
y ? Acos? ??t－ x ? x0 ??
A
o
-A 太原理工大学物理系
x(m
x=0处质点振动方程为
y0
?
A cos[2
?? (t ? t?) ?
?]
2
m
（2）该波的波动方程
因波沿 x 正向传播，故波的波动方程为
y ? A cos[2 ?? (t ? t?? x ) ? ? ] m
u2
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解二 （1）设o点振动方程
由图：在 t=t′时刻，o点位移为零，振动速度小
A?
2
cos?[
(t
?
x) u
?
?
0]
?2y 1 ?2y
推广?到x 2三?维u空2间?，t 2 则—?—2平? 面? 波u1波2 ?动?2t的?2 微分方P34程，12.12式
其中
?
2
?
?2 ?x2
?
?2 ?y 2
?
?2 ?z 2
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三、五类应用题
1.已知某点振动方程及波的传播方向，求波函数