1
b2 a2
1 cos
(e 1)
渐近线方程 焦点三角形面积
ybx a
SMF1F2
b2
/ tan 2
yax b
( F1MF2 )
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： HH 2b2
a
双曲线的常用结论
1、
P
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1 上任意一点， F1, F2 是椭圆的左，右焦点.则
PF1
则除大；3、焦点在 y 轴上， cos 换成 sin ）
9、若 P0 (x0 ,
y0
)
在椭圆
x2 a2
y2 b2
1上，则过 P0 的椭圆的切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1.
10、设椭圆
x2 a2
y2 b2
1（ a b 0 ）的两个焦点为 F1, F2 , P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在 PF1F2
顶点 轴长 对称性 焦点
1 a,0 、 2 a,0
1 0, a 、 2 0, a
实轴的长 2a 虚轴的长 2b 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
F1 c,0 、 F2 c,0
F1 0, c 、 F2 0,c
焦距
F1F2 2c (c2 a2 b2)
离心率
e c a
c2 a2
a2 b2 a2
F1F2 2c (c2 a2 b2)
离心率 焦点三角形面积
通径
c
c2
a2 b2
b2
e a
a2
a2 1 a2 (0 e 1)
SMF1F2
b2
tan
2
( F1MF2 )
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： HH 2b2 a
（焦点）弦长公式
A(x1, y1), B(x2, y2 ) ， AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
PF a c min
4、共焦点的椭圆方程设为
x2
y2
a2 m b2 m
1 ；共离心率的椭圆方程设为
x2 ma 2
y2 mb 2
1
5、焦点 F1MF2 中：
（1） SMF1F2
b2 tan 2
( F1MF2 ) （2） SΔF1MF2 的最大值为 bc （当点 M 位于短轴端点时）
二、双曲线
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b 0
y2 a2
x2 b2
1a
0,b 0
第一定义
到两定点
F 1
、F2
的距离之差的绝对值等于常数
2a
，即
| MF 1
||
MF2
|
2a
（0
2a
|
F1F2
|）
范围
x a 或 x a ， y R
y a 或 y a ， x R
专题二：圆锥曲线与方程
焦点的位置
1．椭圆 焦点在 x 轴上
图形
焦点在 y 轴上
标准方程 第一定义
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
y2 a2
x2 b2
1a
b
0
到两定点 F1 、F2 的距离之和等于常数 2 a ，即| MF1 | | MF2 | 2a （ 2a | F1F2 | ）
范围
a x a 且 b y b
P
点是椭圆 x2 a2
y2 b2
1（
a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2
为其焦点记 F1PF2
，则(1)
|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
.(2)
SPF1F2
b2
tan 2
.
13、与椭圆
x2 a2
y2 b2
1
a
b
0 相切的两条垂直切线的交点轨迹为 x2
y2
a2
b2
焦点的位置 图形
PF2
的取值范围是
b2 ,
2、
P
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1 上任意一点， F1, F2 是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ圆的左，右焦点.则 PF1 PF2 的取值范围是
b2 ,
3、共焦点的双曲线方程可设为
x2 a2
m
y2 b2
m
1
；共渐近线的双曲线方程可设为
x a
2 2
y2 b2
4、 PF1 PF2
2b 2
7、
A, B 是双曲线上关于原点对称的两点，
P 是椭圆上异于
A, B
的一点，则 kPA
•
kPB
b2 a2
。
直线
l
交双曲线于
A,
B
两点，
P
是弦
AB
中点
K
AB
KOP
＝
b2 a2
（定值）
；
K AB
b2 a2
b x b 且 a y a
顶点
轴长 对称性
焦点 焦距
1 a,0 、 2 a,0
1 0, a 、 2 0, a
1 0,b 、 2 0,b
1 b,0 、 2 b,0
长轴的长 2a 短轴的长 2b 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
F1 c,0 、 F2 c,0
F1 0, c 、 F2 0,c
b2 a2
xM yM
）
7、 A 为椭圆内一定点， P 在椭圆上，则：
PF2
PA
2a
max
AF1
PF2 PA min 2a AF1
8、若 AB 是过椭圆焦点的弦， 为直线 AB 的倾斜角，则焦半径：AF
b2
a c cos
b2 BF
a c cos
1 AF
1 BF
2a b2 （说明：1、公式不区分椭圆，双曲线，不区分左右焦点；2、原则：长则除小，短
cos 1 cos
；
2b2
PF1
PF2
1 cos
；
SPF1F2
b2
tan
2
( F1PF2 )
5、 A 为双曲线内一定点 , P 为双曲线上一动点: PA + PF2 min ＝ AF1 2a
6、焦点到渐近线的距离等于 b； 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值 a(长半轴长)
（3）当 M 在短轴端点时，F1MF2 最大；当 M 在短轴端点时，A1MA2 最大( A1, A2 为长轴左，右端点)
6、
A, B
是椭圆上关于原点对称的两点，
P
是椭圆上异于
A, B
的一点，则 kPA
•
kPB
b2 a2
。
A, B 是椭圆上任意两点， M
是弦
AB 中点，则 kOM
kAB
b2 a2
= e2 1 （其中 K AB
中，记 F1PF2 ,
PF1F2
, F1F2P
，则有
sin
sin sin
c e. a
11、设椭圆
x2 a2
y2 b2
1（ a b 0 ）的两个焦点为 F1, F2 , P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在 PF1F2
中，若
F1PF2
,则离心率的取值范围为 sin
2
e
1
12、设
椭圆常用结论
1、 P 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 上任意一点， F1, F2 是椭圆的左，右焦点.则
PF1
PF2
的取值范围是
b2 , a2
2、
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 上任意一点， F1, F2 是椭圆的左，右焦点.则 PF1 PF2
的取值范围是
b2
c2,a2
c2
3、 PF a c max