（1 > 0，1 > 0，2 >0） ARMA（2，2） k=1, 2 有两个峰值然后按指数或正弦
0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，1 > 0，2 > 0） k=1, 2 有两个峰值然后按指数或正弦 衰减
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0，1 > 0） ARMA（1，2） xt = 1 xt-1+ ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 k=1, 2 有两个峰值然后按指数衰减
若1 < 0，k=1 时有负峰值然后截尾 若1 < 0，负的平滑式指数衰减
0. 8
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
若1 < 0，正负交替地指数衰减
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
若11 < 0，k=1 时有负峰值然后截尾
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0. 8 0. 4
0. 0
-0. 4
-0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0，1 > 0，2 > 0）
（1 > 0，2 < 0，1 > 0，2 > 0）
下表给出了不同 ARMA 模型的自相关函数和偏自相关函数。当然一个过程的自相关函 数和偏自相关函数通常是未知的。 用样本得到的只是估计的自相关函数和偏自相关函数， 即 相关图和偏相关图。 建立 ARMA 模型， 时间序列的相关图与偏相关图可为识别模型参数 p, q 提供信息。相关图和偏相关图（估计的自相关系数和偏自相关系数）通常比真实的自相关系 数和偏自相关系数的方差要大，并表现为更高的自相关。实际中相关图，偏相关图的特征不 会像自相关函数与偏自相关函数那样“规范”，所以应该善于从相关图，偏相关图中识别出模 型的真实参数 p, q。另外，估计的模型形式不是唯一的，所以在模型识别阶段应多选择几种 模型形式，以供进一步选择。
（1 > 0，1 > 0，2 < 0）
1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，1 > 0，2 < 0）
1. 0 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，1 < 0） ARMA（2，1） xt = 1 xt-1+ 2 xt-2+ ut + 1 ut-1 k=1 有峰值然后按指数或正弦衰减
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，1 < 0） k=1, 2 有两个峰值然后按指数衰减
（1 > 0，2 < 0）
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0）
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
AR（1） xt = 1 xt-1 + ut
若1 > 0，平滑地指数衰减
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
若11 > 0，k=1 时有正峰值然后截尾
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 > 0） ARMA（1，1） xt = 1 xt-1 + ut + 1 ut-1 k=1 有峰值然后按指数衰减
1. 0
（1 > 0，2 > 0） k=1 有峰值然后按指数衰减
1. 0
0. 5
0. 5
0. 0
0. 0
-0. 5
-0. 5
2
4
6
8
10
12
14
2
4
6
8
10
12
表 模 ARIMA(1,1,1) 型 ARIMA 过程与其自相关函数偏自相关函数特征 自相关函数特征 缓慢地线性衰减
1. 0
偏自相关函数特征
xt = 1 xt-1 + ut + 1ut-1
1. 0
0. 5
0. 5
0. 0
0. 0
-0. 5
-0. 5
-1. 0 2 4 6 8 10 12 14
MA（1） xt = ut + 1 ut-1
若1 > 0，k=1 时有正峰值然后截尾
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
若1 > 0，交替式指数衰减
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（两个特征根为实根）
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8
（1 > 0，2 > 0）
2
4
6
8
10
12
14
（两个特征根为共轭复根） MA（2） xt = ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 k=1, 2 有两个峰值然后截尾
14
（1 > 0，1 > 0）
（1 > 0，1 > 0）
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0，1 > 0） k=1 有峰值然后按指数或正弦衰减
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
xt=1xt-1+2xt-2+ ut +1ut-1+2ut-2 衰减
（1 > 0，2 < 0，1 > 0，2 < 0）
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0，1 > 0，2 < 0）
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
（1 > 0，2 < 0） 指数或正弦衰减
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
AR（2） xt = 1 xt-1 + 2 xt-2 + ut
指数或正弦衰减
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14
k=1, 2 时有两个峰值然后截尾
0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0. 0 -0. 2 -0. 4 -0. 6 -0. 8 2 4 6 8 10 12 14