? 结论二：特征方程根都落在单位圆外的 MA(q)过程具 有可逆性
? 平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完全等价的， 所不同的是，前者是对AR过程而言的，而后者是对 MA过程而言的。
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二、Box-Jenkins方法论
? 建立回归模型时，应遵循节俭性 (parsimony)的原则
? 博克斯和詹金斯(Box and Jenkins)提出了 在节俭性原则下建立ARMA模型的系统 方法论,即Box-Jenkins方法论
? E(v t) =0， Yt、Yt-1、Yt-2、...Yt-p
件期望是相等的，若设为 u，则得到 :
c
u= 1 ? (? 1 ? ? 2 ? ... ? ? p)
的无条
7
ARIMA模型的概念
Yt-u=? 1(Yt-1-u)+? 2(Yt-2-u)+...+? p(Yt-p-u)+vt
?0=?1?1+? 2?2+...+?p?p+? 2
17
ARMA模型的识别
2. MA 、AR、ARMA 过程自相关函数及偏自相关函数 的特点
? ⑴MA(q)过程的自相关函数
2
ARIMA模型的概念
一. 移动平均过程
1. 移动平均（ MA）过程的表示：
Y t=u+ ? t+? 1? t-1 +? 2? t-2+...+ ? q? t-q
? 其中u为常数项，为白噪音过程 ? 引入滞后算子L，原式可以写成:
q
? Y t=u+
? iL i? t+ ? t 或者 Y t=u+ ? (L) ? t
? 其中 ? (L)=1- ? 1 L- ? 2L2 -...- ? pLp
? (L)=1+ ? 1L+ ? 2L2 ? ... ? ? qLq
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ARIMA模型的概念
2. ARMA过程平稳性的条件
? ARMA过程的平稳性取决于它的自回归部分。 ? 当满足条件：
1- ? 1Z- ? 2Z 2 -...- ? pZ p ? 0
自相关函数记为 ACF(j) 。 ②偏自相关函数
? 偏自相关系数 ? * j度量了消除中间滞后项影响
后两滞后变量之间的相关关系。偏自相关函数 记为PACF(j)
16
ARMA模型的识别
③自相关函数和偏自相关函数的联系
? *1= ? 1
? * 2=( ? 2-? 21) (1? ? 21)
? 2阶以上的偏自相关函数计算公式较为复 杂，这里不再给出。
对于任意的，MA(q)是平稳的。
4
ARIMA模型的概念
二. 自回归（ AR）过程 1.自回归（ AR）过程表示为 ：
Y t=c+ ? 1Y t-1 + ? 2Y t-2 +...+ ? pY t-p +v t
? 其中为?vt?为白噪音过程
? 引入滞后算子，则原式可写成
? (L)Y t=c+v t 其中
ARMA模型的概念和构造
1
一、ARIMA模型的基本内涵
一、ARMA 模型的概念 ? 自回归移动平均模型（autoregressive
moving average models,简记为ARMA模 型），由因变量对它的滞后值以及随机 误差项的现值和滞后值回归得到。 ? 包括移动平均过程（MA）、自回归过程 （AR）、自回归移动平均过程 （ARMA）。
? (L)=1- ? 1 L- ? 2 L 2 -...- ? p L p
5
ARIMA模型的概念
2. AR(p)过程平稳的条件
如果特征方程：
1- ? 1 Z- ? 2 Z 2 -...- ? p Z p ? 0
的根全部落在单位圆之外，则该 AR(p)过程是 平稳的
6
ARIMA模型的概念
3. AR(p)过程的特征 ? E(Y t)=c+ ? 1E(Y t-1)+ ? 2E(Y t-2)+...+ ? pE(Yt-p)+E(vt)
? 偏自相关函数 (partial autocorrelation function, 简 记为PACF)
? 以及它们各自的相关图（即 ACF、PACF相对于
滞后长度描图 ）。
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ARMA模型的识别
2. 自相关函数和偏自相关函数的概念
①自相关函数
? 过程?Yt?的第j阶自相关系数即 ? j ? ? j ? 0 ，
特征方程的根全部落在单位圆以外时， ARMA(p,q) 是一个平稳过程。
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ARIMA模型的概念
3.ARMA(p, q)过程的特征
?
1）E(Y
t)=
1?
(? 1
?
c
?2
?
...
?
?
p)
? 2）ARMA(p, q) 过程的方差和协方差
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ARIMA模型的概念
四. AR、MA过程的相互转化
? 结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞)过程， 可采用递归迭代法完成转化
? 1= ? 1? 0+ ? 2? 1+...+ ? p? p-1
……
? p=? 1? p-1 +? 2? p-2 +...+ ? p? 0
? 将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程 组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程 的方差及各级协方差。
8
ARIMA模型的概念
i=1
? (L)=1+ ? 1 L+ ? 2 L 2 ? ... ? ? q L q
3
ARIMA模型的概念
2.MA （q）过程的特征
? 1. E(Y t )=u
? 2.
var(Yt) ?
(1
?
?
2
1?ຫໍສະໝຸດ ?22?
... ? ? q 2 )?
2
? 3.自协方差
①当k>q时 ?k ＝0
②当k<q时 ? k =(? k ? ? 1? k+1 ? ? 2? k+2 ? ... ? ? q? q-k)? 2
三. 自回归移动平均（ARMA ）过程
1. ARMA 过程的形式
Yt=c+?1Yt-1+? 2Yt-2+...+? pYt-p+? 1? t-1+? 2? t-2+...+? q? t-q+? t
? ? ? 其中 ?t 为白噪音过程。
? 若引入滞后算子，可以写成
? (L)Y t=c+ ? (L) ? t
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Box-Jenkins方法论
Box-Jenkins方法论 的步骤：
? 步骤1：模型识别 ? 步骤2：模型估计 ? 步骤3：模型的诊断检验 ? 步骤4：模型预测
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三、ARMA模型的识别、估计、诊断、预测
(一).ARMA 模型的识别 1. 识别ARMA 模型的两个工具：
? 自相关函数(autocorrelation function, 简记为 ACF）；