§8-2 狭义相对论的时空观
一、同时性的相对性 发生在两个惯性系中两个事件的时间间隔： 如果在S系的两个不同地点同时分别发出一光脉冲 信号A和B，它们的时空坐标分别为 A ( x1 , y1 , z1 , t1 ) 和 B ( x2 , y2 , z2 , t 2 ) 因为是同时发出的，所以 t1 = t2。 在S 系观察，两个光脉冲信号发出的时间分别是 2 2 t1 vx1 / c t 2 vx2 / c t1 t2 和 2 2 2 2 1 v / c 1 v / c
10
对洛伦兹变换求微分，得
d x 2 2 1 v / c d y d y d z dz 2 dt v d x / c dt 2 2 1 v / c
从S系到S 系的速度变换公式：
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d x v dt
S系到S 系速度变换公式

0
1 v / c
2
2

2.603 10
8
1 ( 0.9200 ) 2
s
8
=2.6031082.552s=6.642108s
在衰变前可以通过的路程为
s=v=(0.9200c6.642108) m=18.32m>17m
所以 介子在衰变前可以通过17米的路程。 还可以从长度收缩效应来讨论这个问题。 在 介子参考系(S 系)观测，粒子不动，而实验室 相对于它以0.9200c的速度运动，在 介子的固有寿命 期间实验室运动的距离为l =v0= (0.9200c2.603108) =7.179m 从介子参考系(S 系)观测，空间路程l0 (=17m)要 收缩为17.000.3919m=6.663m。 相对论时间延缓总是与长度收缩紧密联系在一起的， 所有验证相对论时间延缓效应的近代物理实验，都同 样验证了相对论长度收缩效应。 9
速度变换公式的逆变换
ux v ux 2 1 vu x / c
2 2 uy 1 v / c uy 2 1 vu x / c 2 2 uz 1 v / c u z 2 1 vu x / c
ux v ux x / c 2 1 vu
4
5
三、长度收缩效应 在S 系沿x 轴有一长杆，两端坐标为x1 和x2 ， 静止长度（固有长度）为 L = L0 = x2 x1 。 在S系中测量同一杆的长度， y y 根据洛伦兹变换，有 S S x1 vt1 v x1
1 v / c
2
2
x 2
x 2 vt 2 1 v2 / c2
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例3 原长为15m的飞船以v＝9×103m/s的速率相对 地面匀速飞行时，从地面上测量，它的长度是多少？
解
l l0
v 1 2 15 1 9 103 3 108 m c
2


14.999999998 m 差别很难测出。
假设飞船的速率为v=0.95c，从地面上测量，它的 长度又是多少？ 解
y 1 v 2 / c 2 u uy 2 1 vux / c 2 2 u 1 v / c uz z 2 1 vux / c
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例2 介子在高速运动中衰变，衰变时辐射出光子。 如果 介子的运动速度为0.99975c，求它向运动的 正前方辐射的光子的速度。
在狭义相对论中，时间与空间是互相联系的。
2
二、时间延缓效应 如果在S系的同一地点先后发生了两个事件，事件发 生的时间是t1 和t2 ，时间间隔为t=t2t1 ，则有
Δ t t 2 t1
Δ t 1 v2 / c2
t 2 vx0 / c 2 1 v / c
O′ O
L0
x1
x
x x 2
因为 t1 = t2 ，杆的静止长度为
6
ΔL0 x2 x1
即
x2 x1 1 v / c
2 2

2
ΔL 1 v / c
2 2
ΔL ΔL0 1 v / c
2
上式表示，在S系观测到运动着的杆的长度比它
的静止长度缩短了，这就是狭义相对论的长度收缩 效应。 由于运动的相对性，长度收缩效应是互逆的，放 置在S系的杆，在S 系观测同样会得到收缩的结论。
在π 介子参考系中测量此距离应为
16
l l
v 1 2 ＝52 1－(0.99 ) 2 m 7.3 m c
2
而实验室飞过此距离所用时间为
l 7.3m 8 Δt 2.5 10 s v 0.99c
这就是静止π介子的平均寿命。
例6 一飞船以v = 9×103m/s的速率相对于地面匀速 飞行。飞船上的钟走了10分钟 , 地面上的钟经过了 多少时间？若v = 0.95c结果又如何？
18
1
因为 t1= t2，故时间间隔为
Δ t t 2 t1
v ( x1 x2 ) / c 2 1 v / c
2 2
0
可见，在S系中两个不同地点同时发生的事件，在 S 系看不是同时发生的，这就是同时性的相对性。 因为运动是相对的，所以这种效应是互逆的，即在
S 系两个不同地点同时发生的事件，在S系看也不是 同时发生的。 当x1= x2时，即两个事件发生在同一地点，则同 时发生的事件在不同的惯性系看来才是同时的。
解 设实验室参考系为S系，随同介子一起运动的 惯性系为S 系，取和光子运动的方向为x轴，由题意， v=0.99975c，ux=c。根据相对论速度逆变换公式
ux
u x v 1 vu x / c
2

cv cv
cc
可见光子的速度仍然为 c ，这已为实验所证实。若 按照伽利略变换，光子相对于实验室参考系的速度是 1.99975c，这显然是错误的。
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例1 在研究宇宙射线时，发现一种被称为 介子的不 稳定粒子，质量约为电子质量的273.27倍，固有寿命为 2.603108s。如果 介子产生后立即以0.9200c的速度 作匀速直线运动，问能否在衰变前通过17m路程？
解 设实验室参考系为S系，随同 介子一起运动 的惯性系为S 系，根据题意，S 系相对于S系的运动 速度0.9200c，即v=0.9200c。 介子在S 系的固有寿 命为2.603108s, 而从实验室参考系(即S系)观测 介子的寿命为
1 2 cos2 0.79 m l l l l
2 x 2 y
tan
ly lx

tan ' 1 2
2
63.43
在S系观测，运动的棒不仅长度收缩还要转向。 例5 试从π 介子在其中静止的参考系来考虑π 介 子的平均寿命。 解 从π 介子的参考系看来，实验室的运动速率 为 u=0.99c,实验室中测得的距离是l=52m ,为原长，
l l0
v2 1 2 ＝15 1－（0.95) 2 m 4.68m c
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可见在高速情况下长度收缩十分明显。
例4
得棒与 x轴成45度角，设 S' 以0.87c的速率相对S系沿 xx轴运动，求棒与Ox轴的夹角。 解 棒长在O′x′和O′y′轴上的分量为
y′
长为1m的棒静止地放在平面内，在 S'系中测
四、速度变换法则
现在我们要讨论的是，同一个运动质点在两个相对
作匀速直线运动的参考系(S系和S 系)之间的速度变换
关系。设质点在这两个惯性系中的速度分量分别为
在S系中
dx dy dz ux , uy , uz dt dt dt
在S 系中
d x d y d z u , u , u x y z dt dt dt
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解
Δt′为原时间
Δt
Δ t v2 1 2 c

Байду номын сангаас
1 9 10

10
3
3 10
8
2
min
=10.000000004 min 若v = 0.95c
Δt Δ t v 1 2 c
2

10 1 0.95
2
min 32.1 min
可见，在高速情况下，飞船的时间膨胀效应十 分明显，运动的钟变慢了。
2 2

t1 vx0 / c 2 1 v2 / c2
>t
上式表示，如果在S 系中的时间间隔是t，则在S 系中的时间间隔t 总要比t 长，即相对于S 系运动 的时钟变慢了，这就是狭义相对论的时间延缓效应。 时间延缓效应是互逆的，即如果在S系中同一地点相 继发生的两个事件的时间间隔为t，那么在S 系测得 的t 总比t长。 3
l x l cos ' ; l l sin y
在S系观察此棒在O x 和O y 轴上的分 量为
θ′ O′
x′
1 2 l cos 1 2 lx lx
l y l l sin y
保持不变
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在S系观察此棒的长度为