卷积定律 调制定律
2010-9-19
f1 (t ) F1 ( )
f 2 (t ) F2 ( )
f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( )
1 f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( ) 2
通信系统原理 郭宇春 6
相关
能量信号的相关
概率分布函数(cdf)和概率密度函数(pdf)
FX ( x) P( X x)
dFX ( x ) p X ( x) dx

统计特征
均值 均方值 方差 关系
2 X
m X E[ X ] xp X ( x)dx


X E[ X ] x 2 p X ( x)dx
2010-9-19 通信系统原理 郭宇春 32
遍历性ergodicity
X(,t)
（各态历经性）
t1 t2 t Xi(t)
p(x,t)

Xj(t) X(t1) X(t2)
t1
t2
m1
t Xi(t)
m1Leabharlann m1 m1Xj(t)
33
2010-9-19

X(t1) X(t2) 通信系统原理 郭宇春
遍历过程
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H ( ) 称为系统功率传递函数
通信系统原理 郭宇春 10
2
希尔伯特变换
同一个域中进行的一种特殊的正交变换
负频域全部频率成分相移+/2，正频域所有 频率成分相移- /2
H h ( ) j sgn( )
1 hh (t ) t
应用于窄带噪声统计分析以及线性调制生 成单边带信号的过程中 (chap3)
n jn0t V e n
n 1 2 3
2 T /2 an f (t ) cos( n0t ) dt T /2 T
2 T /2 bn f (t ) sin( n0t )dt T /2 T
1 Vn T
cn a b
2 n
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2 n
2
功率谱：信号功率在频域的分布
FT ( ) S f ( ) lim T T
2
与自相关函数的关系
2010-9-19
R f ( ) E f ( ) R f ( ) S f ( )
8
通信系统原理 郭宇春
帕氏定理
Ef
时域(t)


1 f (t ) dt R f (0) 2
2010-9-19 通信系统原理 郭宇春 30
平稳过程的功率谱
平稳随机过程有确定的功率谱 平稳随机过程功率谱比确知函数功率谱多 了一个统计平均
N T ( ) N T ( ) E[ lim ] lim E[ ] S X ( ) T T T T 1 PX S X ( )d 2
2010-9-19
通信系统原理 郭宇春
25
平稳随机过程
X(,t)
t1+ t1 t2 t2+ tN tN+ t
E X(t1+) X(t2+) X( t 1 ) X(t2) 2010-9-19 X(tN+) X(郭宇春 tN) 通信系统原理
26
随机过程的统计特征
一维：均值、均方值、方差
自相关 互相关
R f ( ) f (t ) f (t )dt
R12 ( ) f1 (t ) f 2 (t )dt



功率信号的相关 相关的物理含义
2010-9-19
通信系统原理 郭宇春
7
能量谱、功率谱
能量谱：信号能量在频域的分布
E f ( ) F ( )
CX C CYX C XY 4 4 CY 4 9
(1)计算X与Y的互相关系数 (2)如果Z=2X+Y，W=X-2Y，求Z与W的协方 差 (3)计算随机变量Z的概率密度p(z)
2010-9-19 通信系统原理 郭宇春 18
统计独立、不相关和正交
2010-9-19
通信系统原理 郭宇春
20
随机过程
定义，与随机变量的关系 平稳随机过程 数字特征 遍历性 传输特性
投掷硬币结果（正面1，反面1）
+1 0 -1 +1 0 -1
。。。
t
t
+1 0 -1
2010-9-19 通信系统原理 郭宇春
t
22
同条件电阻上的噪声电压
X1(t)
2010-9-19
通信系统原理 郭宇春
13
概率与随机变量
概率空间，随机事件，样本，概率 全概公式，逆概公式 随机变量
概率分布，概率密度 数字特征 随机变量函数的分布 高斯分布 二维随机变量统计特征
统计独立、不相关、正交
2010-9-19 通信系统原理 郭宇春 14
随机变量的统计特征
2 2
维纳－辛钦定理
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RX ( ) S X ( )
通信系统原理 郭宇春 31
例题
随机过程X(t)=2cos(2t+)，其中是以 等概1/2取值为0或/2的随机变量 (1)求当t=1时， X(t)的均值E[X(1)]； (2)求当t=0及t=1时的自相关，即R(0,1)= E[X(0) X(1)]的值 (3) X(t)是平稳过程吗? (4) 若 在(0,2)上均匀分布, X(t)是平稳 过程吗?
2a
2 N (m X , X )
高斯（正态）分布
p X ( x) 1
( x mX )2 exp[ ] 2 2 X 2 X
归一化高斯分布 概率积分函数 误差函数与互补误差函数 2010-9-19 通信系统原理 郭宇春
16
二维随机变量的统计特征
联合概率密度和分布函数
F ( x, y ) P{ X x; Y y}
2 2
D[ X ] E[( X m X ) ] ( x m X ) 2 p X ( x)dx
2

2 2 X 2 X mX
通信系统原理 郭宇春 15
2010-9-19
常用一维随机变量
均匀分布
区间[-a, a]上的均匀分布随机变量的概率密 度函数 1 p( x)
互易特性 常用傅氏变换对
2010-9-19 通信系统原理 郭宇春 5
卷积
f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 ( )d

t



f1 ( ) f 2 (t )d f 2 (t ) f1 (t )
物理含义 两个定律：如果
2



F ( ) d
2
自相关域()
频域()
1 Pf lim T T

T /2
T / 2
1 f (t ) dt R f (0) 2
2



S f ( ) d
2010-9-19
通信系统原理 郭宇春
9
确知信号通过线性时不变系统
f (t )
F ( )
h(t ) H ( )
通信系统原理
北京交通大学 电子信息工程学院 通信工程教研室 郭宇春 ychguo@
2010-9-19 通信系统原理 郭宇春 1
Chap 2 信号与噪声分析
1. 确知信号分析 2. 随机信号分析 3. 噪声分析
2010-9-19
通信系统原理 郭宇春
2
2.1 确知信号分析
信号类型 信号的频谱表示



( x mX )( y mY ) p( x, y )dxdy
互相关系数 关系
2010-9-19
( x, y )
C ( x, y )
XY
R( x, y ) C ( x, y ) mX mY
通信系统原理 郭宇春 17
例题
随机变量X与Y，具有联合高斯分布特征，且 已知mX=1，mY=2，协方差矩阵为
关系：
X (t ) (t ) m (t )
2 2 X 2 X
统计平均功率
交流功率
直流功率
一维平稳：一维统计特征与时间无关
二维：自相关、自协方差、自相关系数
关系
RX (t1 , t 2 ) C X (t1 , t 2 ) m X (t1 )m X (t 2 )
二维平稳：二维统计特征都是时间差的函数
y

x
p( x, y )dxdy

2 F ( x, y ) p ( x, y ) xy
统计特征
互相关 协方差
R( x, y ) E[ XY ]




xyp( x, y )dxdy
C ( x, y ) E[( X mX )(Y mY )]
2010-9-19 通信系统原理 郭宇春 11
例题
已知功率信号 f (t ) A cos 200 t sin 200 t , 求 该信号的平均功率、自相关函数和功率谱 密度。
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通信系统原理 郭宇春
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2.2 随机信号分析
概率与随机变量 随机过程
定义，与随机变量的关系 平稳随机过程 数字特征 遍历性 传输特性
遍历性（各态历经性）：样本函数在一段 足够长的时间内可以经历其它所有样本函 数所能经历的状态 任意一个样本函数的时间平均等于该随机 过程的统计平均
1 E[] [] lim T T