<连续介质力学> QM 复习提纲(2010.12)一、基本要求1、掌握自由指标与哑指标的判别方法及表达式按指标展开；2、掌握ij 与ijk e 的定义、性质及相互关系；3、掌握二阶张量坐标转换的计算；4、掌握二阶张量特征值、特征向量与三个不变量的计算方法；5、掌握哈密顿微分算子及其基本计算；6、掌握小变形应变张量、转动张量及转动向量的计算；7、掌握正应变的计算；8、掌握正应力、剪应力及应力向量的计算；9、掌握应力张量与应变张量的对称性；10、掌握能量密度及能通量密度向量的计算；11、掌握各向同性线弹性体的广义胡克定律的两种形式；12、掌握应力张量与体积膨胀率的关系；13、掌握各向同性线弹性体的应变能密度函数；14、会对材料的各个弹性参数之间的关系进行相互推导；15、掌握从质点的运动方程推导Navier 方程的过程；16、掌握从质点的运动方程出发推导纵横波的方程的过程；17、掌握地震波速度与泊松比的关系；18、掌握非均匀平面简谐波的传播特征；19、掌握P 波、SV 波入射到自由界面上的传播特征；20、掌握利用自由界面边界条件确定反射系数和反射波位移场的方法；21、掌握Reilaygh 波和Stonely 波的传播特征；22、掌握P 波入射到两种弹性体接触面上的反射系数和透射系数的计算方法；二、复习题简答论述题1、试解释“连续介质”所必须满足的条件。

2、简述弹性动力学基本假设。

3、说明应力、应变、正应力、正应变、剪应力及剪应变的含义。

4、说明杨氏模量、泊松比、体积模量与剪切模量的物理含义。

5、简述小变形应变张量的几何解释。

6、举例说明相容性条件的物理意义。

7、什么是应力主平面？什么是主应力与应力主方向？8、极端各向异性体有哪些特征？9、正交各向异性体有哪些特征？10、横向各向同性体有哪些特征？11、试说明Stoneley 波的传播特点？12、试说明Rayleigh 波的传播特点？13、以复数值形式表示的波向量所对应的位移为'''()i t A e e ω--=k x k x u d其中的'k 及''k 满足式ωχ22⎫''''''⋅-⋅=⎪⎬⎪'''⋅=0⎭k k k k k k 试论述该平面波的传播特征。

14、试述波动方程的解为 11221122,A A B B φφφψψψ=+=+ （a ）()()()()1121121221121212,,ik x P x ct ik x P x ct ik x P x ct ik x P x ct e e e e φφψψ--+---+-⎫==⎪⎬==⎪⎭（b ）（1c c >）时P 波在自由界面中的反射和折射规律。

15、分情况讨论P 波和SV 波在自由界面上的反射和折射规律。

16、何谓波阻抗，地震波在两种弹性介质表面发生反射的条件是什么？P 波及SV 波合成的入射波入射到两种弹性介质表面的反射和折射规律是什么？17、试述波动方程的解为11221122,A A B B φφφψψψ=+=+ （a ）()()()()1121121221121212,,ik x P x ct ik x P x ct ik x P x ct ik x P x ct e e e e φφψψ--+---+-⎫==⎪⎬==⎪⎭（b ）（1c c >）时SV 波在自由界面中的反射和折射规律。

18、试述波动方程的解为11221122,A A B B φφφψψψ=+=+ （a ）()()121121122122()()1212,,k x ik x ct k x ik x ct ik x P x ct ik x P x ct e e e e e e ννφφψψ-----+-⎫==⎪⎬==⎪⎭（b ）（21c c c <<）时SV 波在自由界面中的反射和折射规律。

计算题1、给定一个坐标变换i ij j x x β=，其中变换系数的矩阵形式为()0333666ij β⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎢-⎢⎢⎥⎣⎦如果向量a 在i x 坐标系中的分量为[1,2,1]-，试求它在i x 坐标系中的分量。

2、给定一个坐标变换i ij j x x β=，如果在坐标系i x 中张量为ij τ，其中()022666ij β-⎥⎥=⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎣⎦011()121110ij τ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 试求此张量在i x 坐标系中的分量。

3、求二阶反对称张量ij A 所对应的向量。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=012103230)(ij A4、试求二阶张量110()121011ij A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值及特征向量，并选取一个主轴坐标系，写出该张量在主轴坐标系内的表达形式。

5、已知用ij e 表示的ij τ为2ij kk ij ij e e τλδμ=+ （a ）其中，λ与μ为参数，试用ij τ表示出ij e 。

6、已知理想弹性体内的位移场为2211221333123,2,()u x x k u x x k u x x x k ===-其中，210k -=为常数，试求应变张量、转动张量、转动向量、体积膨胀率。

7、已知弹性体内点P 处的应变张量为40()72024ij kk e kk k k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 试求点P处沿123022=++⋅n e e 方向的正应变。

8、设弹性体的位移场为2221123212312343,8,344u x x x u x x u x x x =-+=+=-++试分别确定点(1,0,2)P -及(0,1,4)Q -处的应变不变量。

9、设某一弹性体的应变张量场为132()312226ij e -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（1） 直接计算该应变张量的三个不变量；（2） 求该应变张量的主应变，并验证由应变张量对角形式求得的不变量与直接计算的结果相同。

10、在坐标系123ox x x 内，某弹性体内的应力张量场为21222233350()502020ij x x x x x x τ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求作用于圆柱面22234x x +=上点P 的切面上的应力向量。

11、设弹性体内一点处的主应力为1τ、2τ及3τ。

试用主应力表示出与该点应力主轴成等角的倾斜面元上的正应力及剪应力，并再用应力不变量表示出它们。

12、在平面情形中，已知点12(,)P x x 的应力分量为11τ、22τ及12τ。

试求过点P 而外法向与坐标轴1ox 夹角为α的倾斜面上的正应力n τ与剪应力s τ的值；并证明：在点P 处剪应力s τ为零的方向有二且相互垂直，其法向与1ox 轴的夹角α由下式确定： 1211222tan 2ταττ=- 13、已知理想弹性介质中，拉梅系数λ、μ与杨氏模量E 、泊松比ν及体积模量K 的关系为 ()()()32,,2312E E K μλμλνλμλμν+===++-（1） 试以E 及ν为独立的弹性常数，写出理想弹性体的广义胡克定律，并分别以应变分量表出应力分量、应力分量表出应变分量的形式给出。

（2） 试以K 及ν为独立的弹性常数，写出理想弹性体的广义胡克定律，并以应变分量表出应力分量、应力分量表出应变分量的形式给出。

14、设有一各向同性线性弹性圆柱体，被置于一光滑的刚性圆筒内，如图所示。

柱体受轴向均匀压力p 的作用（其横向变形完全受到限制），试求轴向应力与轴向应变的比值。

设材料的Lamé系数为λ、μ 。

15、如果理想弹性体内某点处的应变张量为2()25253ij a a a e a a a a a a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭其中，410a -=，设拉梅常数510MPa λ=，50.810MPa μ=⨯。

试求该点处的应力张量。

16、已知各向同性线弹性体中，拉梅系数λ、μ与杨氏模量E 、泊松比ν的关系为()()32,2E μλμλνλμλμ+==++ 试以E 及ν为独立的弹性常数，写出各向同性线弹性体的应变能密度函数，并分别用应变张量的不变量与应力张量的不变量表示出来。

17、已知各向同性线弹性体中，拉梅系数λ、μ与杨氏模量E 、泊松比ν及体积模量K 的关系为 ()()()32,,2312E E K μλμλνλμλμν+===++- 求解：（1）用介质密度ρ、杨氏模量E 及泊松比ν表达的纵波和横波相速度公式。

（2）用介质密度ρ、体积模量K 和剪切模量μ表达的纵波和横波相速度公式。

18、已知各向同性线弹性体中，拉梅系数λ、μ与泊松比ν的关系为 ()2λνλμ=+ 求解：（1）利用纵横波相速度1c 及2c 表示的泊松比表达式；（2）求泊松体的纵横波相速度之比。

19、若位移矢量场的标量位函数是()1133exp A i k x k x t ϕω=+-⎡⎤⎣⎦求解：应变张量、应力张量、转动张量、转动向量、能量密度、能通量密度矢量与波的强度。

20、给定岩石的体积模量K 与剪切模量μ为62210N /cm ⨯，密度ρ为32.5/g cm ，试求P 波速度α与横波速度β及泊松比ν。

21、在02>x 的弹性半空间内，有平面简谐P 波沿坐标面21x ox 内的某一方向入射到弹性半空间的平界面02=x 上。

已知平界面上的位移被指定为 11()()12,ik x ct ik x ct u e u e αβ--==。

试求反射系数。

设P 波及SV 波的速度为1c 及2c 。

22、在各向同性线弹性均匀介质中，从质点的运动方程出发，使用广义虎克定律，导出P 波和S 波满足的运动方程。

从推导过程中阐明P 波和S 波的本质差别，并求出P 波和S 波的速度表达式。

（假设体力为零）23、平面简谐SH 波以θ角入射到一个水平的自由表面上（如图所示），试求解下列问题：（1）利用自由表面边界条件推导在0z >的空间区域中总的位移表达式；（2）若平面简谐SH 波以θ角入射到一个崎岖的自由表面()z h x =上，假定自由表面的高程()h x 可视为沿一虚拟水平自由表面上下的扰动。

根据（1）的结果，利用Taylor 展开推导崎岖自由表面处SH 波的总位移。

θSH（1） （2）24、设想一直矿井穿过地球中心，一个物体由静止开始从井口自由掉下。

设井内阻力不计，已知万有引力常数为G ，地球半径为0R ，密度均匀为ρ。

（1）问此物体在井中做何种形式的运动？求出其运动周期。

（2）试求该物体到达地心时的速度大小。

（3）若矿井不经过地心，而是沿地球的任一弦挖的光滑直隧道，则当物体由静止开始从井口自由掉下后作何运动？xz 弹性介质真空O25、如图所示，设弹性空间是由接触的两个半无限弹性介质组成，平界面两侧介质的密度和纵波速度分别为1212,,,ρραα。