全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为 A, B, C, D 的四 个选项，其中有且只有一个选项是正确的•请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、 多填或错填都得0分)1如果a =-2 2，那么1 ―1的值为【C 1 2 -- 3 +a2、在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2• y 2乞2x - 2y 的整数点坐标(x ，y )的个数为【 】 (A ) 10( B ) 9(C ) 7( D ) 5解：B 解法一：x 2y^2x 2y 化为 x-1 2• y -1 2乞 2因为 X 、y 均为整数，因此 X-1 2■ y —1 2=0 或 x_1 2■ y_1 2=1 或 x_1 2■ y_1 2=2解法二：x 2 • y 2空2x 2y 化为x -1 2• y -1 2乞2它表示以点(1,1 )为圆心，.2为半径的 圆内，画图可知，这个圆内有 9 个 (0,2 )、(0,1 ) (0,0 ), (1,0 ), (1,1 ), (1,2 ), (2,0 )，(2,1 )，(2,2 )X =1\=0 x = 2 X=1 X =1'x = \ = 2 'x = 0或€或€ ■:y=1 7=1 y=1 y = 0 y = 2 片2 y = 2 ：y =分别解得 x = 2 所以共有9个整点y = 0(A) -.2(B ) '.2(C )(D ) 2 2 解：时 3 a^ 2:九「2"，2 九「2 12"因此原式=23、如图，四边形 ABC 冲，AC, BD 是对角线，△ ABC 是等边三角形.• ADC = 30 , AD = 3 , BD = 5，则CD 的长为【】 (A ) 3 2(B ) 4(C 2.5( D ) 4.5解：图，以CD 为边作等边△ CDE 连接AE 由于AC = BC, CD = CE,NBCD =NBCA+NACD =NDCE+NACD =NACE .所以 △ BCD^AACE BD = AE .又因为.ADC =30，所以 ADE =90 .在 Rt △ ADE 中, AE =5，AD =3, 于是 DE= AE -AD =4，所以 CD = DE = 4 .4、如果关于x 的方程x 2- px -q =0 (p, q 是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的个数是【 】解:C a b a^(a 1)(b 1)-1v计算结果与顺序无关(A ) 5(B ) 6(C ) 7 (D ) 8解：Cv p 、q 是正整数二 p =1 <p = 1 € p =1 "1』 "1』 * p = 2 Q=1, 、q=2， —3， 0=4， 、q=5， W=1 ,.5、黑板上写有1,然后删去a , b , 并在黑板上写上数 a ab ，贝燈过99次操作后，黑板上剩下的数是(A ) 2012(B ) 101(C ) 100 (D 99解得 q ::: 9 -3pp =21 12 '3 —共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取 2个数a, b ,1002p + J p 2 + 4q:二 p 4q 0 , X 1 X 2 二-q ：： 0 .正根为 31 1 1•••顺次计算得：(1 1)(3 1)-仁 2 , (2 1)(3 1)—仁3 , (3 1)(； 1)-仁 4 ,2 3 41(99 1)( 1) -1 =100100、填空题(共5小题，每小题7分，共35 分)6、如果a, b, c 是正数，且满足a b ^9 , —丄 =1°，那么旦 •丄 •二a+b b+c c+a 9 b+c c+a a+b的值为 ________ .7 在—1— - -^― =10 两边乘以 a b 9 得 3 ―—=10 即a b b c c a 9a b b c c a」 「旦=7a b b c c a7、如图，。
O 的半径为20，A 是。
O 上一点•以OA 为对角线作矩形OBAC ，且OC=12 •延28长BC ，与。
O 分别交于D ，E 两点，则CE-BD 的值等于5&设n 为整数，且1< nW 2012.若(n 2 -n • 3)(n 2 n 3)能被5整除，则所有n 的个数解：1600 n 2 -n 3 n 2 n 3 = n 2 3? -n 2 二 n 4 5n 29解：如图，设DE 的中点为 M ，连接 OM ，贝U OM _ DE .因为 OB 二.202-122=16， 所以OMOB OC 16 1248BC20 CM F OC 2 -OM 2二36BM64CE _BD (EM -CM ) -(DM -BM ) 二 BM -CM64 36 28因此5|n49，所以n4=1(mod 5)，因此n = 5k匸1,或5k匸2 20125 = 402 2所以共有2012-402=1600 个数9、如果正数x, y, z可以是一个三角形的三边长，那么称（x, y, z）是三角形数.若（a, b,c）和（丄丄,丨均为三角形数，且a< b< c,则a的取值范围是a b c c3- ■ 5 a A解： 12 c了-a b c依题意得：ii i，所以b・c-a，代入（2）得I —+ —> —b c a111 1 i—< -■ - ：：：，两边乘以a得a b c c -a c1 < —a即口：::—化简得a2-3ac c2 ::: 0，两边除以c2得c —a c c c -aa-3a^：： 0所以匸V：：：—：35另一方面：a< b< c,所以◎叮综合得< a< 1c c 2 c 2 c 2 c10、已知n是偶数，且1< n < 100.若有唯一的正整数对（a, b）使得a^b2n成立，则这样的n的个数为___________ .解：依题意得= a b a -b由于n是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数当K n < 100时，4的倍数共有25个但是 4=2 2 , 24 = 2 12 =4 6, 32 =2 16 = 4 8, 40 =2 20 = 4 10,48 = 2 24 =4 12 =6 8, 56 = 2 28 = 4 14 , 60 =2 30 = 6 10, 64 = 2 32 =4 16 72=2 36 =4 18=6 12, 80 = 2 40 =4 20 =8 10, 88 = 2 44 = 4 2296 = 2 48 =4 24 =6 16 =8 12这些不符合要求，因此这样的n有25-12=13个三、解答题（共4题，每题20分，共80分）411、如图，在平面直角坐标系 xOy中，A0 =8, AB二AC , sin・ABC . CD与y轴交于5点E，且S A COE =S A ADE .已知经过B, C, E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的('二次函数的解析式.解：因为 sin / ABC =^° =- , A0=8，所以 AB = 10 .AB 5由勾股定理，得 B0 二、AB ? 一 A02= 6 .易知△ ABO ACO , 因此 CO = BO = 6 . 于是 A(0 8) , B(6 ,0) ,C(_6,0) •设点 D 的坐标为(m , n) •由^S^，得 Sp IA S A1111所以 —BC ，n = — AO ，BO ,-勺2( - n)= 一心心.解得 n=* . 因此D 为AB 的中点，点 2 2 2 2D 的坐标为(3 , -4).因此CD AO 分别为AB BC 的两条中线，点EABC 的重心，所以点E 的坐标为(0,- 8).3设经过B , C, E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 y =a(x-6)(x • 6).将点E 的坐标代入解得a=27 .故经过B，c, E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 12、如图,OO 的内接四边形ABC 冲,AC, BD 是它的对角线,AC 的中点I 是厶ABD 的内心.求 证：(1) OI 是厶IBD 的外接圆的切线；(2) AB+ AD= 2BD.(1) 如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知2 2 8 y x _ 27 3BDfi.CID - IAD . IDA，• CDI = • CDB • BDI "BAC • IDA "IAD • IDA .所以CID =/CDI , CI = CD . 同理，CI = CB .故点C是厶IBD的外心.连接OA OC因为I是AC的中点，且OA = OC所以Ol丄AC,即Ol丄CI .故OI是厶IBD外接圆的切线.(2)如图，过点I作IE丄AD于点E,设OC与BD交于点F.由BC =CD，知OCL BD.因为/ CBF =Z IAE，BC = CI = AI ，所以 Rt△ BCF 如Rt△ AIE .所以BF = AE.又因为I是△ ABD的内心，所以AB AD - BD二2AE BD - BD = 2BF二BD .故AB AD2 B D13、给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150 ?并说明理由.解：14、将2，3，…，n (n》2)任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a, b, c (可以相同)使得a b=c，求n的最小值.解：当n =216-1时，把2,3, II, n分成如下两个数组：「2,3,28, 28 1 , Hl, 216和4,5,川,28一1 ?.在数组「2,3,28, 28 1 , Hl, 216-1?中，由于 33：：：28,(28)2216-1,所以其中不存在数a ,b ,c，使得a b二c .在数组U,5,川，28-1?中，由于44・28-1 ,所以其中不存在数a ,b ,c，使得a b二c .所以，n_216.下面证明当n =216时，满足题设条件.不妨设2在第一组，若22 =4也在第一组，则结论已经成立.故不妨设22 =4在第二组.同理可设44 =28在第一组，（28）2=216在第二组.此时考虑数8.如果8在第一组，我们取a =2 ,b=8 ,c = 28，此时a^ c ;如果8在第二组，我们取 a =4 ,b = 8 ,c = 216，此时 a b= c .综上，n=216满足题设条件.所以，n的最小值为216.注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536.。