得 2b1 22 b2 23b3 2n1bn1 2an1 4 ，……………………②
①-②得 2n bn 4n1 4n 3 4n , n 2 ，
所以 bn 3 2n , n 2 .
当 n 1 时， b1
2a1 2
2 16 2 6 符合上式. 2
所以 bn 3 2n .
则 x2 x1
1 8k ， x1 1 4k
1 8k
.
2
x2
4k
先证明 ln x x 1.
则由①得
f
(x1)
f
(x 2)
1 2
( x1
x2 )
k
x1 x2
1
1 4
2k
.
思路
2：令
x1 x2
t ，结合 x1
x2
1 2
，
x1x2
1k 2
，其中 0 t
1.
可得
x1
t
2t 1
，
x2
1
2t 1
当直线
AB 的斜率不存在时， SAGBE
3SAOB =
9 2
.
当直线 AB 的斜率存在时，设为 y k x 1 ，
理科数学试题参考答案 第 4 页（共 8 页）
y k x 1
由
x2
y2
1
4k2 3
y2 6ky 9k 2 0 .
4 3
设
A
x1,
y1
、
B
x2
,
y2
，则
y1 y1
x ty 1
所以设
l
:
x
ty
1，由
x2
4
y2 3
1
3t2 4
y2 6ty 9 0 ，
设
A
x1,
y1
、
B
x2 ,
y2
，则
y1 y1
y2
y2
6t 3t2
9
3t2 4
4
，
因为 OE OA OB ，∴ AOBE 为平行四边形，
所以 SAGBE SAOBE SOGB 3SAOB
y2
y2
6k 4k 2
9k 2
4k2 3
3
，
所以 SAGBE
3SAOB
3 2
y1 y2
3 2
y1 y2
2 4 y1 y2
18 k 4 k 4k 2 3
2
，
令 4k2 3 m 3，得 S 9 2
3 1 2 1 9 ，
m2 m
2
综上可知， Smax
9 2
．
21．（1）解：由 f ( x ) x2 x klnx 知函数的定义域为(0,).
3 2
y1 y2
3 2
y1
y2 2
4 y1 y2
18 3t
t2 1 2 4
，
令
t2
1 m1，得 S
18m 3m2 1
18 3m
1
，
m
由函数的单调性易得当 m 1，即 t
0 时， Smax
9 2
．
解法 2：因为 OE OA OB ，所以 AOBE 为平行四边形，
所以 SAGBE SAOBE SOGB 3SAOB ．
因为 3780 元 3720 元，所以小王应选择做 B 公司外卖配送员．
20．解：（1）由已知得 b2 3 ， a c 3 ， a2 b2 c2 ， 所以所求椭圆 C 的方程为 x2 y2 1． 43
（2）解法 1：因为过 F 1,0 的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点（ A ， B 不在 x 轴上），
x1 x2
1 4
2k
1 4
4x1x2 ，
即证 ln x1 1 2 x1 x2 2 ，
x2 2x2
x2
即证 ln x1 x1 1 . x2 x2
构造 h(x) ln x (x 1) （ (0 x 1)
h' (x) 1 1 1 x2 ， x (0,1) 时， h' (x) 0 ，
所以
Sn
61 1
2n 2
3 2n1 6 .
理科数学试题参考答案 第 1 页（共 8 页）
18．（1）证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 BD AC . 又因为 BD 平面 ABCD ，平面 AEFC 平面 ABCD . 平面 AEFC 平面 ABCD=AC ，所以 BD 平面 AEFC . 因为 BD 平面 BDE ，所以平面 BED 平面 AEFC .
（2）（ⅰ）送餐量 x 的分布列为： x 13 14 16 17 18 20
P
则 Ex 13 1 14 1 16 2 17 1 18 1 20 1 16 .
15
5
5
5
15
15
送餐量 y 的分布列为：
y 11 13 14 15 16 18
P
理科数学试题参考答案 第 3 页（共 8 页）
，k
2t
t
12
.
则由①得，需证明
f
(x1)
f (x2)
1 2 (x1 x2 ) k ln
x1 x2
1 4
2k
.
整理得，需证明 ln t t 1（ 0 t 1）.
22．（1）解：因为
x
y
m m
1 m 1 m
，所以
x
2
y
2
(m (m
1 )2 m 1 )2 m
m2 m2
k
1 8
时，(1)式的两根为
x1
1
1 8k 4
， x2
1
1 8k 4
若
0
k
1 8
，则
0x1x2源自，当x (0, x1)，(x2 ,)时有
f
(
x
)
0
，当
x (x1 , x2
)时有
f
(
x
)
0
，
从而知函数 f ( x ) 在(0, x1 )和(x2 ,)单调递增，在(x1 , x2 )单调递减.
若 k 0 ，则 x1 0 x2 ，当 x (0, x2 )时有 f ( x ) 0 ，x(x2 ,)时 f ( x ) 0 ，从而知函数 f ( x ) 的
0
，
n2 CF 0 3x2 y2 0
令 x2 2 ，解得 n1 2, 2 3, 3 .
因为 cos n1 n2
n1 n2 n1 n2
11 ， 19
结合图像可知二面角 B FC D 的余弦值为 11 . 19
理科数学试题参考答案 第 2 页（共 8 页）
解法 2：因为 FO 面ABCD 且 BD 面ABCD ，
所以 BF
22
2
3
7 ， BD 2BO 2
3 ，同理 CF
5，
在 RtFBC 中， BF 7 ， BO 2 ， CF 5 .
由三角形面积公式得 BG
19 ，则 DG
19 .
5
5
在
BGD
中，
cosBGD
19 5
2
19 5 19
12
11 19
.
5
所以二面角 B FC D 的余弦值为 11 . 19
（2）设 AC BD O ，连接 OF，可知平面四边形 AEFC 为直角梯形，EAAC， 又因为 AE 平面 AEFC，平面 AEFC 平面 ABCD AC ，
平面 AEFC 平面 ABCD ，所以 AE平面 ABCD．
因为 EF // AC ， 1 AC=AO EF ，所以 AE // OF ，所以 OF 平面 ABCD． 2
解法 1：以 OB，OC，OF 分别为 x，y，z 轴建立如图所示空间坐标系．
则 B 3,0,0 ，C 0，1，0 ， D 3,0,0 ，A0, 1,0 ，
E 0, 1, 2 ， F 0,0, 2 ，
设平面 BCF 的法向量 n1 x1, y1, z1 ，
因为 BC 3,1, 0 ， BF 3, 0, 2 ，
（2）解法
1：由
x
x2
3y 3 y2 4,
0,
解得 A
3 1
11 , 3
11
，
B
3 1
11 , 3
11
.
2
2 2
2
因为点 P(0,1) ，
所以 PA 11 1， PB 11 1.
所以 1 1
1
1
11
.
PA PB 11 1 11 1 5
理科数学试题参考答案 第 7 页（共 8 页）
理科数学 参考答案
一． 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D A C B A D A B C D
二．填空题 13. 4 2
5
14. 135
15. 6
16. 10 6
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（1）解法 1：设an 的公差为 d ， 因为an 为单调递增的等差数列，所以， d 0 .
则 f ( x ) 2x 1 k 2x2 x k .
x
x
令 f ( x ) 0 得 2x2 x k 0 .
其 1 8k . ①当 1 8k 0 即 k 1 时， f ( x ) 0 在(0,)上恒成立，
8 所以 f (x) 在(0,)上为单调递增函数.
②当
1
8k
0
即
在(0, x2 )单调递减，在(x2 ,)单调递增.
综上，当 k 1 时， f (x) 在(0,)上为单调递增函数；当 0 k 1 时，