2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的．x已知集合 A={ x|x<1} ，B={ x| 3x1}，则（ ）A ． AB {x|x 0} B ． A B RC ． A B {x|x 1}D ． A B如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的 中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(其中的真命题为(4．记S n 为等差数列 {a n } 的前n 项和．若 a 4 a 5 24，S 6 48 ，则{ a n } 的公差为()7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形， 这些梯形A． [ 2,2]B ． [ 1,1]C ．[0,4]D ． [1,3]16 26． (1 2)(1 x)6展开式中 x 2的系数为( x)A ．15B ．20C ． 30D ．355．函数 f (x) 在( , )递减，且为奇函数． 1．2．3． 1A ． 4π B ．8πD ．4p 1 ：若复数 z 满足 1R ，则 z R ；zp 2 ：若复数z 满足 z 2R ，则 z R ； p 3 ：若复数 z 1, z 2满足 z 1z 2 R ，则 z 1 z 2；p 4 ：若复数 z R ，则 z R ．A ． p 1, p 3B ． p 1, p 4C ． p 2,p 3D ． p 2, p 4A ．1B ．2C ．4D ．8若 f(1)1，则满足 1 f (x 2) 1的x 的取值范围是 ( C ．的面积之和为( )A．10 B．12 C．14 D ．16A ．440B ．330C ．220D ．1108．右面程序框图是为了求出满足 3n - 2n>1000的最小偶数 n ，那么在和 两个空白框中， 可以分别填入（ ）与 C 交于 D 、E 两点，则 |AB|+|DE|的最小值为（）11．设 x 、y 、z 为正数，且 2x3y5z，则（ ）12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学 题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1， 2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是 20，接下来的两项是 20， 21，再接下来的三项是 20，21，22， 依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是（A ． A>1000 和 n=n+1B ．A>1000 和 n=n+2C ．A 1000 和 n=n+1D ．A 1000 和 n=n+29．已知曲线 C 1：y=cos x ， C 2： y=sin （2x+A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的线 C 2C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的线 C 2D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的曲线 C 22ππ），则下面结论正确的是（ ）32倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移11倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移11倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲6π个单位长度，得到曲12π个单位长度，得到曲6ππ个单位长度，得到12210．已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1与C 交于 A 、B 两点，直线 l 2A ．16B ．14C ．12D ． 10A ．2x<3y<5zB ． 5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．13．已知向量 a ， b 的夹角为 60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |=．x 2y 114．设 x ，y 满足约束条件 2x y 1，则 z 3x 2y 的最小值为 ．xy02215．已知双曲线 C ：x 2 y 21（a>0，b>0）的右顶点为 A ，以A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的 ab一条渐近线交于 M 、N 两点．若∠ MAN =60°，则 C 的离心率为 ______ ____ ．16．如图，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O ．D 、E 、F 为圆 O 上的 点，△DBC ，△ ECA ，△ FAB 分别是以 BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△ DBC ，△ ECA ，△ FAB ，使得 D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ ABC 的边长变化时，所得 三棱锥体积（单位： cm 3）的最大值为 ________________ ．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分． a217．（12分）△ ABC 的内角 A ，B ， C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知△ ABC 的面积为3sin A（ 1）求 sinBsinC;（ 2）若 6cosBcosC=1， a=3，求△ ABC 的周长．P-ABCD 中， AB//CD ，且 BAP CDP 90 ．1）证明：平面 PAB ⊥平面 PAD ；2）若 PA=PD=AB=DC ， APD 90 ，求二面角 A-PB-C 的余弦值．19．( 12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位： cm )．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布18．（12 分）如图，在四棱锥2N( , 2) ．( 1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在( 3 , 3 )之外的零件数，求P(X 1)及X 的数学期望；( 2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：1 161 1621 162 2 2 经计算得x x i 9.97 ，s (x i x) ( x i16x ) 0.212，其中x i 为抽取的第i16 i 1 16 i 1 i16 i 1 i个零件的尺寸，i 1,2, ,16 ．用样本平均数x 作为的估计值?，用样本标准差s 作为的估计值?，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除( ? 3?, ? 3?) 之外的数据，用剩下的数据估计和 (精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N( , 2)，则P( 3 Z 3 ) 0.9974 ，0.997416 0.9592 ，0.008 0.09 ．20．（12 分）已知椭圆C：=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，2），P4（1，2）a2 b2中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点．2 x x21．（12 分）已知函数f （x） ae2x（a 2）e x x．（1）讨论f （x）的单调性；2）若f （x）有两个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4―4：坐标系与参数方程］（10 分）x 3cos x a 4t 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）y sin y 1 t（1）若a=-1 ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 的距离的最大值为17 ，求a．23．［选修4—5：不等式选讲］（10 分）已知函数f（x） = –x2+ax+4，g（x）= │x+1│ +│x–1│．（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥g（ x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g （x）的解集包含［–1，1］，求a 的取值范围．参考答案（理科数学）、选择题、填空题13．2 3 14．5 15 ． 2 316．4 153三、解答题/7可取 Λ=(0-1,-√2).,.PA = Oy^∙ >/^ _ ∩设m=(x,>∙,z)罡平面PM 的法向量，则｛ • 一 ，即-l ^2~x ^2^zI W ^=O [J=O可取 w =α9 O,1).则cos<w ,初> =斗J =_£,所以二面角A-PB-C 的余弦值为-E ・ IWIl Wl 3319.【解析】(1)抽取的一个零件的尺寸在S-3<7," + 3σ)之內的概率为0.9974,从而零件的尺寸在 ("-3<z,"+3σ)之外的概率为 0.0026,故X~D(16O0026).因此PIX >l) = l- P(X = O) = I- 0.9974 = 0.0408. X 的始期望为 £¥=16x0.0026 = 0.0416.(2) (i)如果生产状态正常，一φ零件尺寸在(“一30,“ + 36之外的IK 率只有0.0026, 一天内抽取的16 个零件中，出现尺寸在(“一36〃+ 3(7)之外的零件的概率只有0∙0408,发生的概率很小.因此一旦发生这 种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检 查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(H)由X =9.97.5≈0.212,得“的估计值为A = 9.97, O •的估计值为<7 = 0.212,由样本数据可叹看出 有一个零件的尺寸在(A-3σlj α+3σ)之外,因此需对当夭的生产过程进行检查•剔除(∕2-3σs p+3σ)Z 外的数据9.22,剰下数据的平均数为1(16x9.97-9.22) = 10.02 ,因此“的估计 1・tt⅛ 10∙02.2X ?=16X 0.2122+ 16X 9.972«1591.134,剔除(2-3次〃+ 3&)N 卜的数据 9.22,剩下数据的样本方 i-11 I ①差为 ±(1591.134-9.222-15×10.02O≈0.008 >因此σ的佔计值为√0.008 ≈ 0.09.由(1〉及已知可得O), P(Q0,所 ^PC=(- (2 丄O), C(-2L-11,O).,C8 = (√2t 0.0),可=(半Q-半),五=(0,1,0).√2 忑 -——x+V-------------Z = O2 • 2 , √2x=0 设W=(XJ S Z)是平面PCS 的法向量，则，W-PC =OUCB =O20.【解析】⑴ 由于？ E 两点关于A 轴对称，故由题设知C 经过厂E 两虽又由土 + 土>护拾知，C 不经过点环 所以点B 在C 上.故C 的方程为斗W=1.4⑵设直线PM 与直线P 出的斜率分别为4 k2,如果/与X 轴垂直，设hχ≈t,由题设知心0,且∣r∣v2,可得定丿的坐标分别为<6^ΞΞ）,<G-^ΞΞ>- 则焙2呼一，得“2,神合题设.从而可设/： J-XX + w (/M≠l ).将y = Ax +加代入扌 +F=I 得(4λr +l)x 2+8λm÷4∕w 2-4 = 0 由题设可知A≡46(4A -m 2⅛l)>O设定（X!, >1）, 5（X ：,旳力则XLX21B -鑰务，Xm ■篇［：•而t 卫=卩_1闪+汝-［、脏5-1阿匕+（加_1）（耳+乞）I A" X I XzX 】 E耳乞由题设ArI +k 2≈-∖ f 故(2⅛ + 1)X ,X 2 + (W-I)(X l +x 2) = 0.即(2* + l) 4加:一土 +(牺_|)•亲牛=0. f⅛f[∏=-Zltl. 4F+1 4/+1 2当且仅当加>一1肘，△>(),欲使/： y≈-^-^-x + m ,即y+ 1=-卑丄(X-2),所以/过定点(2, -1) 21.【解析】(1) /(x)K½义域为(Y'2), ∕,(x) = 2^2z+(d-2>x-I = (^X-I×2^x+1),(i )若α≤0, MAX) <0, βτtλ∕(x)在(→o.炖)单调递减一 (Ii)S^>0,则由f(0 = O 得X=-IM.当 x∈(-∞,-ln<7)时’ ∕r(x) < 0；当 xG(-l∏α+oo)时，f ∖x) > O, 所以/(X)在(Y ∖ - In Ci)单调递减，在(-ln G ÷∞)单调递増.(2) ( i )若α≤0,由⑴知,/(x)至多有一个零,点.(ii)gα>O,由(1)知，当X=Tnd 时，∕*(x)取得最小值，最小值为/(-Ina) = I-I+ lnα. a① 当Q=I 时，由于/(-Ina)=0,故/(x)RW 一个零点；② 当dG(l,g)时，由于I-丄+lz>0,即/(-lnα)>0,故/(x)没有零点： a③ 当αc(QD 时，1 一丄÷lnα<0, g∏∕(-lntj)<O. a又/(-2) = Qh÷(α-2)√ + 2>-2/ + 2 >0 ,故/(x)在(→o,-lna)有一个零点.3 设正整数％满足 WO > ln(- -1)；则 /(«o)=出(卅：+ α - 2) - ％ > e J n 0 > 2 J n 0 > 0 ・ a3由于1n(- -l)>-lnα,因此/(x)在(Tna +∞)育一个雰点・ a综上，4的取值范围为(0,1). 22.【解析】⑴ 曲线C 的普通方程为y+∕=l.当“一1时，直线/的普通方程为x+4y —3 = 0.x+4y-3 = 0 &_3 X =~— I J 由工 解得F =\或丿 j 5∙从而C 与/的交点坐标为(3,0),(-罠学). —+ y =1 J=O 24 25 2〉 Iy I 25 综上，α = 8或d=-16.23.【解析】(1)当Q = I 时,不等式f(x)≥g(x)等价T√-x+∣x + l∣ + ∣x -l∣-4≤0.φ 当X-I 时，①式化为疋-3K0,无解；当-ISxSlB 寸，①式化为X 3-X -2S0,从而-1S X ≤1;⑵当x∈[-l.l]时，g(x) = 2.所以T r (X)≥g(x)的辭集包含[-14],手价于当x∈[-l s l]H7∕(x)≥2.又/(x)在卜11]的最小值必为八-1)与/(1)之一，m∕(-l)>2B∕(l)≥2,得-l≤α≤l. 所叹。