①②
③④
⑤
⑥
⑦
甲
d
e
a
b
c
乙
A22
①②
③ A55 ④
⑤
乙
c
a
e
b
⑥
⑦
d
甲
⑵甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法一：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2 位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步 从余下的5位 同学中选5位进行排列（全排列）有A55种方法 ，所以一共 有A52 A55 ＝2400种排列方法． 解法二：若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有A66 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法．所 以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 A77 － 2 A66 ＋ A55=2400种．
创新练习
• 某班8运动员在运动会 后排成一排照像留念，
• （1）若甲乙两人之间 必须间隔一人，有多 少种不同排法？
拓展：①甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有A55A33 ＝720种． ②甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾 的排法有多少种？
解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共 有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元 素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元素 进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排 列有A22种方法．所以这样的排法一共有A52 A44 A22 ＝960种方法．
的排法？ 解⑵：7问位题同可学以站看成作一：排7个，元其素中的全甲排站列在A中77＝间5的04位0 置，
共有多少种不同的排法？ 解⑶：7问位题同可学以站看成作一：排余下，的其6中个元甲素不的站全在排首列位A6，6 =共72有0 多
少种不同的排法？
解一：甲站其余六个位置之一有A61种，其余6人全排列有 A66 种，共有A61 A66 =4320。 解二：从其他6人中先选出一人站首位，有A61，剩下6人
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2A55种方法， 所 以 丙 不 能 站 在 排 头 和 排 尾 的 排 法 有 （ A66 2A55）·A22=960种方法． 解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以 可以从其余的四个位置选择共有A41种方法，
（解三含：甲）7人全全排排列列，有有AA7676，，甲共有在A首61 A位66的=43有20A。66，所以 共有 A77- A66=7 A66- A66=4320。
二、新课：例： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A22种；第二步 余下的5名同学进行全排列有A55种 则共有A22 A55 =240种排列方法
小 结一：对于“在”与“不在”等有特殊元素
或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊
位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）。
优限法
⑶甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素 与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A66种方法； 再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法．所 以这样的排法一共有A66 A22 ＝1440种．
⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊
元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法“优 限法”； ⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一
个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列 ，这种方法称为“捆绑法”；
⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这 些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”。
大家好！
排列的简单应用
制作：薛本祥 （安徽凤阳中学）
时间：2004年4月26日
排列的简单应用
• 目的：理解掌握含有特殊限制条 件的排队问题的解决方法，进一 步培养分析问题、解决问题的能 力．
• 重点：优限法、捆绑法、插空法 的运用
一、【概念复习】：
1．排列的定义，理解排列定义需要注意的
几点问题；
再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将
甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一问题，常
捆绑法
用“捆绑法”（先捆后
松）．
⑷甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法） A77-A66 A22 =3600 解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有A55种方法，
从n个不同元素中，任取m(m<n)个元素（这
里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排
成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的一个排列.
2．排列数的定义，排列数的计算公式
A n m n ( n 1 )n (2 ) ( n m 1 )
An m

n!
(n m)!
3．练习：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同
A52A66+2A31A51A66
⑷如果两端不能都排女生， =36000
有多少种不同排法？
或A88- A32 A66=36000
四、小结：
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
2．基本的解题方法：
此时他们留下六个位置（就称为“空” ），再将甲、乙同学 分别插入这六个位置（空）有A62种方法，
a
b甲 c
d
所以一共有A55 A62=3600种方法．
乙e
插空法
拓展：③甲、乙和丙三个同学都 不能相邻的排法共有多少种？
解：先将其余四个同学排好有A44 种方法，此时他们留下五个“空”， 再将甲、乙和丙三个同学分别插入这 五个“空”有A53种方法，所以一共有 A44 A53 ＝1440种．
小结三：对于不相邻问题，常用
“插空法”（特殊元素后考
虑）．
三、练习：三名女生和五名 男生排成一排，
⑴如果女生全排在一起，有 多少种不同排法？
A66 A33 =4320
⑵如果女生全分开，有多少 种不同排法？
A55A63=14400
⑶如果两端 都不能 排女生， A52A66=14400
有多少种不同排法？