“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”
可起到简化解题的功效。

对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。

例1、（ 1） 12 个相同的小球放入编号为 1， 2， 3， 4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有
多少种？
（ 2） 12 个相同的小球放入编号为1， 2， 3， 4 的盒子中，问不同放法有多少种？
（ 3） 12 个相同的小球放入编号为 1， 2， 3， 4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于
其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（ 1）将 12 个小球排成一排，中间有11 个间隔，在这11 个间隔中选出 3 个，放上“隔板”，若把“ 1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C113=165 种。

（ 2）法 1：（分类）①装入一个盒子有C41 4 种；②装入两个盒子，即12 个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有C42C11166 种;③装入三个盒子，即12 个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至
少装一个有 C43C112=220 种 ;④装入四个盒子，即12 个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有
C113165 种;由加法原理得共有4+66+220+165=455 种。

法 2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12 个小球任意装，即16 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C153455 种。

（ 3）法 1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩 2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有 C41C4210 种。

法 2：先给每个盒子装上比编号小 1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将 6 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310
由上面的例题可以看出法 2 要比法 1 简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。

例 2、（ 1）方程x1x2x3x410 的正整数解有多少组？
(2)方程 x1 x2x3x410 的非负整数解有多少组？
（ 3）方程2x1x2x3L x
103的非负整数整数解有多少组？
解：（ 1）转化为10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有C9384 种，所以该方程有
84组正整数解。

（ 2）转化为10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为14 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有C133286 种，所以该方程有286 组非负整数整数解。

（ 3）当x10时，转化为 3 个相同的小球装入9 个不同的盒子，可以有空盒，有C113165 种。

当 x1 1 时，转化为 1 个小球装入 9 个不同的盒子，可以有空盒，有C91=9 种；所以该方程有165+9=174 组非负整数整数解。

例 3、已知集合，选择的两个非空子集A, B ，且A中最大的元素比 B 中最小的元素小，
则选择方法有多少种？
解：由题意知 A, B 的交集是空集，且A, B 的并集是的子集 C ，所以 C 至少含有两个元素，将 C 中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给 A ，后边的给 B ，A, B至少含有1个元素，设 C 中有n个元素，则转化为n 个相同的小球装入 2 个不同的盒子，则有C n1种装法，故本题有
C52C53C21C54 C31C55C4149种选择方法。

总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。

若每组元素数目至少一个
时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0 个时，向每组元素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”
法加以解决。