P
N N N N
（3）粗大误差—明显超出规定条件下预期的误差 特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。 产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、
使用仪器方法不对等。
4、 测量结果表示
（1）绝对误差
NN测N真
（2）相对误差（百分误差）
EN10% 0N测N真10% 0
N真
N真
结果表示：
N真N测N
N
E 100% N真
N ( fx)2x 2( fy)2y 2( fz)2z2 (1.4-6)
N(ln f)2
N x
x 2(l y n f)2
y 2(l zn f)2
2 z
(1.4-7)
三、不确定度的传递公式
不确定度 uN ( fx)2ux 2( fy)2u2 y( fz)2uz2
(1.4-8)
相对不确定度 u N N(l x n f)2ux 2(l y n f)2uy 2(l zn f)2uz 2 (1.4-9)
△未标明时，可取仪器及表盘上最小 刻度的一半作误差。 △ 电学仪器根据仪器的精度来考虑
如电表： in s 量 程 数 仪 器 精 度 级 别 %
例: 如用一个精度为0.5级，量程为10 μA 的电流表，单次测量某一电流值为 2.00μA，试用不确定度表示测量结果。
解：u=10 μA ×0．5 ％=0．05 μA I=（2 ．00±0 ．05 ）μA
N
K Ni N2
i1
K 1
（2）平均值的标准偏差：
K
N N K
Ni N 2
i1
KK1
拓：标准偏差σ是一个描述测量结果离散程度的参
量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。 理解： 若随机误差服从正态分布，在距平均值σ 处，
是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为1， σ越小，曲 线越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之 精密度越低。
2、误差来源 （1） 仪器误差 （2） 环境误差 （3） 测量方法误差 （4） 人员误差
3、 误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）
（1）系统误差—同一被测量的多次测量过程中，保持 恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量
特点：确定性 产生原因：仪器本身的缺陷、测量方法的不完 备、测量者的不良习惯等。
5、精密度、正确度与准确度（又称精确度） 精密度—反映随机误差（测量值离散程度） 正确度—反映系统误差（测量值偏离真值程度） 准确度—反映综合误差
(a)
正确度较高、 精密度低
(b)
精密度高、 正确度低
(c) 准确度高
§1.2测量结果误差估算及评定方法
对N进行K次测量，得N1，N2……Nk．用算术
N=f(x,y,z)
绝对误差 Nf xf yf z （1.4-3）
x
y
z
相对误差 Nln f xln f yln f z (1.4-4)
N x

y
z
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计 算绝对误差较方便
当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计 算相对误差较方便
二、 标准偏差的传递公式（方和根合成）
问:有了绝对误差，为什么还要引入相对 误差呢？
答:绝对误差反映的是误差本身的大小，但 它不能反映误差的严重程度。
例:两个绝对误差如下，哪个大,哪个严重？
2m
20m
我们不知道它们是在什么测量中产生的，所 以难以回答。
如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？
100米 跑道
地 月
2m 20m
注意：绝对误差大的，相对误差不一定大
P
N N N N
当系统误差、粗大误差已消除，随机误 差服从正态分布
范围
N—N
N2— N2
N3— N3
P
置信概率（包含真值的概 率）
68.3% 95.4% 99.7%
N N N N
3．不确定度
A类分量（用统计的方法计算）uＡ： N N
B类分量（用其他方法计算）uＢ：
uj
ins K
ins
测量
直接测量 间接测量
直接测量--指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系 的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；
间接测量--指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关 系经过计算从而得到被测量值的测量
二、 误差
1、误差的定义
测量误差=测量值-真值 NN测N真
N真是客观存在的但无法测得，因为测量与误差是形影不离的。
二、多次测量结果的误差估算及 评定程序：
1、求平均值 N 。
2、求 或 或 u。
3、表示结果。（例如用u， 则结果为 NNu）
NNu 今后我们约定结果写成：
式中 u 2 N2ins
这种表示方法的置信概率大约为95%左右
例（书P20）
§1.4间接测量结果误差的估算及评定 一、 一般的误差传递公式
第一章 测量误差及数据处理方法
§ 1.1测量与误差关系 § 1.2测量结果误差估算及评定方法 § 1.3直接测量结果误差估算及评定方法 § 1.4间接测量结果误差估算及评定方法 § 1.5 有效数字及其运算 § 1.6常用数据处理方法
一、 测量
测量：就是用一定的测量工具或仪器，通过 一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。
合成不确定度
或 u u A 2 u B 2 2 (N ) u 2 j 2 (N ) u 2 j
测量结果表示为： N u
相对不确定度： E u 100%
N
§1.3直接测量误差估算及评定
一、单次测量误差估算及评定
单次测量结果的误差估算常以测量仪 器误差来评定。 仪器误差： △ 已标明（或可明确知道）的误差
（2）随机误差—同一量的多次测量过程中，以不可
预知方式变化的测量误差的分量 特点:(a)测量次数不多情况下随机误差没有规律; (b)大量测量时随机误差服从统计规律。
很多服从正态分布，曲线下面积为1，曲线越窄，峰 越高，随机误差越小。用多次测量取平均的方法可 以减小随机误差。
产生原因：环境的影响等。
平均值：
N K 1N 1N 2 N i N kK 1i k1N i
作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。
1．算术平均偏差
K 1N 1 N N 2 N N i N N k N
1
K
K i1
Ni
N
结果可表示为： N
2．标准偏差（均方根偏差） （1）测量列的实验标准差：
当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),用（1.4-8）较 方便
当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（N=x2y/z), 用（1.4-9）较方便