数学期望 E(Xi)= （i =1,2,…），则对>0，有
禳 镲 1 n 镲 lim P 睚 å X i - m < e = 1 n 镲 n i= 1 镲 铪
1 n P 也即序列 X X i . n i=1
2 2 1 1 1 证明： 记Yn X k , E Yn n , D Yn 2 n n k 1 n n n n
证明： 对于第k次试验，引入以下的随机变量：
1, 第k次试验事件A发生 Xk 0, 第k次试验事件A不发生 则E X k p, D X k p(1 p), 且 f A X 1 X 2
由辛钦大数定理有： 1 n fA lim P X k p 1 lim P p 1 n n n n k 1
连续情形：
P X
x
f x dx
x 2
x

2
2
f x dx
2 2
12

x f x dx
D X
2
离散情形：
P X p
10
独立分布的中心极限定理
设X1 , X 2 , , Xn, 是服从同一分布的、相互独立的随机变量序列，且 . 记 X X i，那么 X 的标准化
i 1 n
E X k , D X k 2 0, i 1, 2, X E X
变量为： Yn
= X n n D X
事件A发生的频率：f n A X n P 0.74 X 0.76 P X 0.75n 0.01n n


1875 0.90 1 0.1875n 1 2 n 0. 0 1 n
n 18750
4
极限定理

概率论中的一个基本理论。 内容：
x t 2
2
11
独立分布的中心极限定理的应用形式
若已知E ( X k ) , D( X k ) 2 , k 1, 2
8
Xn

伯努利大数定理是新钦大数定理的推论。 伯努利大数定理揭露了以下事实：
当试验次数 n 充分大时，事件 A 发生的频率与概率之差 小于 的概率为 1，即这个事件必然发生，故当n 很大时， 可以通过 A 的频率来近似表示它的概率。
频率的稳定性

大数定理是参数估计等统计方法的重要理论基础。

大数定理：
描述随机变量序列的前一些项的算术平均值，在某种
条件下，会收敛到这些项均值的算术平均值。

中心极限定理：
确定在什么条件下，大量随机变量之和的分布逼近于
正态分布。
5
依概率收敛

定义：
设随机变量序列Y1 , Y2 , Y3 , 是一个随机变量序列，a是一个常数， 若对 0有： p 则称随机变量序列Yn 依概率收敛于常数a，记为：Yn a.
9
中心极限定理

存在的客观背景：
在客观实际中，存在这样一类随机变量，它们本身
由大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成， 并且其中每个个别的因素在总的影响中所起的作用 是微小的。通过研究发现，这种随机变量往往服从或 近似服从正态分布。
中心极限定理正是从数学上论证了这一现象，它在长
达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。
k 1 k

xk
xk 2

xk
2 2
2
12

x
k
pk
D X
2 2
意义：在随机变量X的概率分布未知，但E(X), D(X)已知的
情况下，来估算概率 P X E X 的下限。
2 P X E X 1 2



3
例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概
率为0.75，试利用契比雪夫不等式估计n,使A出现的频
率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。 解： 在n重贝努里试验中，事件A出现的次数为X，则X b n,0.75.
E X np 0.75n, D X npq 0.1875n,
1 n 2 n 1 n 由契比雪夫不等式得：P X k 1 2 lim P X k 1 n n k 1 n k 1 7
伯努力大数定理
设f A为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是A在每次试验 中发生的概率，则对 0有： fA lim P p 1 n n
k 1 k
n
n X n k k 1 且 Yn 的分布函数为： Fn ( x) P Yn x P x n 1 e dt = ( x) n 2 即Fn ( x) 的极限即为标准正态分布的分布函数。 则 Fn ( x) 满足： lim Fn ( x)
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词：
契比雪夫不等式
大数定律 中心极限定理
比雪夫不等式
设是X 一个随机变量，E ( X ) , D( X ) 2 ,则对任意 >0有
2 2 P X 2 P X 1 2
证明：
n
lim P Yn a 1,

性质：
p p 设X n a ， Yn b, 函数g ( x, y)在(a, b)处连续，则 p g X n，Yn g ( a, b)
6


辛钦大数定理（弱大数定理）
设X1, X2,…, Xn…为独立、同分布的随机变量，且有相同的