多面体外接球半径常见求法
知识回顾：
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系：
．
球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ．
球与棱柱的组合体问题
1． 正方体的内切球：
球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2
a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2
2=。
3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2
31==。
一、公式法
例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
98
，底面周长为３，则这个球的体积为 .
小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 图3 图4 图5
二、多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
三、补形法
例3
，则其外接球的表面积是 .
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有2R =
变式1：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）
A ．26a π
B ．29a π
C ．212a π
D ．2
24a π
四、寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥S ABCD -
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思
想方
法值得我们学习.
变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
C D A B S O 1图3
变式1
：底面边长为3的正三棱柱外接球的体积为
3
32π
，则该三棱柱的体积为
五、确定球心位置法
1：三棱锥P ABC
-中，底面ABC
∆是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且2
PA=，则此三棱锥外接球的半径为（）
A．2B．5C．2D．
3
21
六．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例4.已知三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC-的六个顶点在球
1
O上，又知球
2
O与此正三棱柱的5个面都相切，
求球
1
O与球
2
O的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
练习
1、球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18
=
AB，24
=
BC、30
=
AC，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
2、.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且a
PC
PB
PA=
=
=,那么这个球的表面积是______.
图6
3：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。
（答案为()332
6243
a a V ==）
4、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
5 、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
6、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
7、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，，则其外接球的表面积是 .
8、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3π
B. 4π
C.
D. 6π
9、已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，，则球O 的体积等于 .
10、已知球面上的三点A 、B 、C ，AB =6，BC =8，AC =10，球的半径为13，求球心到平面ABC 的距离.
11、已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是（ ） A.
9π16 B.3π8 π D.9π64。