多面体外接球半径常见的5种求法
公式法
例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
9
8
，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h
，则有2
63,1,296,8
x x x h h =⎧⎧
=⎪⎪
∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径1
2
r =
，球心到底面的距离2d =.
∴外接球的半径
1R ==.43
V π
∴=
球. 小结 本题是运用公式2
2
2
R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2
416x =，解得2x =.
∴2R R =
=∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
补形法
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，
则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为
.
设其外接球的半径为R ，则有(
)
2
2
2
2
29R =
++=.∴29
4
R =
. 故其外接球的表面积2
49S R ππ==.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有2R =
.
练习1 （2003
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
3π B. 4π
C. D. 6π
2（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0
DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥
P-DCE 的外接球的体积为（ ）.
A. 27
B. 2
C. 8
D. 24
3 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，
DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥
，O 的体积等于 .
4（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，
B BCD A ⊥平面，B
C DC ⊥，
若6,AB =，则B 、C 两点间的球面距离是 .
寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥S ABCD -
，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.
又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在ASC ∆
中，由2SA SC AC ==
=，得222SA SC AC +=.
∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴
12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43
V π
=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截
C
D
A
B S
O 1图3
面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
确定球心位置法
例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角
B A
C
D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为
A.12512π
B.1259π
C.1256π
D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的
半径52R OA ==.故3
412536
V R ππ==球.选C.
外接球内切球问题
1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A ．
433 B ．33 C ． 43 D ．123
答案 B
2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若
12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

解:在ABC ∆中2AB AC ==,120BAC ∠=︒,
可得BC =由正弦定理,可得ABC ∆
A O D
B
图4
外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '∆中，易得球半径R =故此球的表面积为2
420R ππ=.
3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱 柱的体积为 ． 答案 8
4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A ．
3 B ．13π C ．2
3
π D ．3 答案 A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由2
84
⨯=
1a =，故选A 。

5.已知正方体外接球的体积是
π3
32
，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.332 C.324 D.3
3
4 答案 D
6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A . 1∶3
B . 1∶3
C . 1∶33
D . 1∶9 答案 C
7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98
，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 答案
3
4π
8. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 答案 14π
9.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。

如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.
答案 242+
10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱 锥的侧面积是________．
答案 7 11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 2
12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ） A ．π3 B ．π2
C ．
3
16π
D ．以上都不对
答案C
13.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为23
3，则它的外接球的表面积为（ ）
A ．π3
8 B ．2π C ．4π D ．π3
4
答案C
A
B C
D
E F。