(1
t ) n1i
t=0: i=0: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=1。
i=1: Bi-1,n-1(t)=1； Bi,n-1(t)=0。
·
（均出现 0 的非 0 次幂）
t=0
P' (0) P' (t 0) n(P1 P0 )
同理可得，当 t=1 时
P1
二次贝塞尔曲线的图形
P(t)=(1-t)2P0+2t(P(11/2-) t)PP'1(1+/2)t2 P2
P’(tP)0 =2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2
Pm
P2
P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)] P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0
Pik Fk ,n (t )
k 0
在上式中，0 ≤ t ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定 义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i= 0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
在以上表达式中：
F k,n ( t ) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ 样条分段混合函数。其表达式为：
i0
对于某个t值P(t)是特征多边形各顶点 的加权平均，权因子是 BEZi,n(t) 。 在几 何图形上，P(t)是各控制点的凸线性组合， 并且曲线各点均落在Bezier特征多边形构 成的凸包之中。
（7）直线再生性：
若控制顶点P0 ,P1 ,···,Pn在同一直线上，该
Bezier曲线必为一条直线段
伯恩斯坦基函数的表达式为：
Bi,n (t )

n! i!(n
ti i)!
(1
t) ni
假如规定：０＝１，０！＝１，则 t=0: i=0 ,Bi,n(t)=1
i0 ,Bi,n(t)=0
P(0)

n! 00 1 n!
(1 0)n
P0

P0
P(0)=P0
t=1: i=n ,Bi,n(t)=1 in ,Bi,n(t)=0
3 3

1
0
0 0
0 0
PP32

***
贝塞尔曲线在运用中的不足之处
缺乏灵活性 一旦确定了特征多 边形的顶点数(m个)，也就决定了曲 线的阶次(m-1次)，无法更改；
控制性差 当顶点数较多时，曲 线的阶次将较高，此时，特征多边形 对曲线形状的控制将明显减弱；
不易修改 由曲线的混合函数可以看出， 其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为零。因此， 所定义之曲线在 ( 0 < t < 1)的区间内的任 何一点均要受到全部顶点的影响，这使 得对曲线进行局部修改成为不可能。
(2) 四个顶点 P0、P1、P2、P3 可 定义一条三次 Bezier 曲线：
P(t) (1 t)3 P0 3t(1 t 2 )P1 3t 2 (1 t)P2 t 3P3
1 3 3 1 P0
t3
t2
t
1


3
6
3
0


P1

Ｂ样条基函数
B

i ,1
(t)

1,当t [ti 0, 其它
,
ti1
),
B B B

(t) t ti
i,k
tik1 ti
(t) tik ti
i,k 1
tik ti1
(t),i 0,1,, n
i1,k 1
Bi，k（t）的双下标中第二个下标k表示次数，第 一个下标i表示序号。欲确定第i个k次样条Bi，k（t）， 需要用到ti、ti+1、，---，ti+k+1共k+2个点
B样条曲线的方程可表示为
n
P B P(t)
i
i,k (t ), t [tk 1,tn1 ]
i0
B样条曲线的性质
(1)局部性
由定义可知,样条基函数Bi,k只在[ti,ti+1]区间不为 0，该段曲线只与控制顶点Pi-K+1,pi-k+2, ……Pi 有关
(2)递推性
可根据递推公式由低次的B样条得出高次的B样
P ' (1) n(Pn Pn1 )
这两个式子说明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。且末端切矢 的模长分别等于首末边长的n倍，n为贝塞 尔曲线的阶次
Bezier曲线的性质：
（1）端点位置： P(0) P0 , P(1) Pn
（2）端点的切线：曲线与P0P1， Pn-1Pn相切，
（而在外形设计中，局部修改是随时要 进行的）
二、B样条曲线
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要： 易于进行局部修改；
更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。 于是，用 n次Ｂ样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条 曲线的新型曲线。
Bezier曲线的形状由其控制多边形的形 状作较好的刻划，在设计时，一般以 控制多边形的设计与修改为基本手段
２.二次和三次Bezier曲线
(1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
B0,2 (t )

2! t 0 0!2!
(1 t)20
P P P P P'(0) n( )，P '(1) n( )
1
0
n
n1
（3）端点的曲率：
P(t) P(t)
k(t) P(t) 3
k (t ) t 0

n 1 n
(P1

P0 ) (P2 P1 P0 3

P1 )
k (t ) t 1

n 1 n
( Pn 1

1 2
(2t 2

2t
1)
F2,2 (t)

1 t2 2
有了基函数，因此可写出二次Ｂ样条 曲线的分段表达式为：
Pi (t) F0,2 (t) Pi F1,2 (t) Pi1 F2,2 (t) Pi2
( i= 0,1,2,…,m ) m+1段
写成一般的矩阵形式为：
（4）直线再生性
若控制顶点落在一条直线上，则该段曲线为直 线
（5）连续性 （6）几何不变性。 曲线形状由控制点决定，与坐标系的选取无关
（7）磨光性 由同一组控制点定义的B样条曲线，随着k的增
加，越来越光滑。
2.Ｂ样条曲线的数学表达式
Ｂ样条曲线的数学表达式为：
n
Pi,n (t)
P(1)=Pn
P(1)

n! 1n n!1
(1 1)0
Pn

Pn
所以说，“只有第一个顶点和最后一个 顶点在曲线上”。即Bezier曲线只通过 多边折线的起点和终点。
下面我们通过对伯恩斯坦基函数求导， 来分析两端切矢的情况。
B' i,n
(t)

n[Bi1,n1 (t)

Bi,n1 (t )]
得：
n 1
P ' (t ) n Pi [Bi1,n1 (t ) Bi,n1 (t )] i0
讨论：
Bi1,n1 (t )

(i
(n 1)! t i1 1)!(n i)!
(1 t ) n1i
Bi,n1 (t )

(n 1)! t i i!(n 1 i)!
Bezier曲线 和 B样条曲线
如何表示象飞机、汽车、 轮船等具有复杂外形产品 的表面是工程中必须解
决的问题。
1、1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森 （Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表 示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点 的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲 面片。 2、1964年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯Coons ）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，斯恩 伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形 式。
（8）平面Bezier曲线的保凸性： 如控制顶点为凸，则相应的Bezier曲 线也为凸
（9）变差缩减性：
平面内任一条直线与Bezier曲线的交点数，不多 于此直线与控制多边形的交点个数
该性质说明：Bezier曲线 比控制多边形波动得少， 比控制多边形光顺。
（10）拟局部性（见程序） 当移动控制顶点Pi 时，对应参数 t=i/n 的曲线上的点变动最大，远离 i/n 的曲线上的点变动越来越小
３.二次Ｂ样条曲线 在二次Ｂ样条曲线中，n=2,k=0,1,2 故其基函数形式为：
F0,2 (t)

1 2!
2
(1) j
j0
C3j
(t
2
j)2
1 [3! (t 2) 2 3! (t 1) 2 3! t 2 ] 1 (t 1) 2
2 3!
2!
2!
2
F1,2 (t)
条。
B

i ,1
(t)

1,当t [ti 0, 其它
,
ti1
),
B B B

(t) t ti
i,k
tik1 ti
(t) tik ti