S St Sz
f f 1 2 f 2 2 f f ( S S ) t Sz 2 S t 2 S S
证券组合： 衍生证券：-1 f 股票：
S
Black-Scholes微分方程
f f S S
f 1 2 f 2 2 ( S )t 2 t 2 S
金融工程 Financial Engineering
金融工程课程组
第11章 股票期权定价的B-S公式
本章导读 股票价格如何变化的假设 预期收益率和波动率及其估计 B-S公式的基本假设及推导 风险中性定价及其应用 隐含波动率和波动率产生的原因 红利的影响
11.1 从离散时间到连续时间
二叉树模型假设未来只发生一次变化，要么上 涨，要么下跌 现实情况：每时每刻都在变动，变动的幅度也 不确定
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值
f e
f e

rT
ST K
E ( ST K )
E ( ST ) Ke rT


rT
E ( ST ) SerT
f S Ke rT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为
E[max( S T X ,0)]
2
ln ST ln S ~ [(
2
)(T t ), T t ]
期望值
方差
2 2 (T t )
E(ST ) Se
(T t )
var(ST ) S e
[e
2 (T t )
1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估
计
A、预期收益率
风险中性定价：预期收益率无关
股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布Байду номын сангаас
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz 2 d ln S ( )dt dz
2
2 ln ST ~ [ln S ( )(T t ), T t ] 2

ce
r (T t )
E[max( ST X ,0)]

ln ST ~ [ln S r
2
2
(T t ), T t ]
11.5 隐含波动率
隐含波动率：在市场中观察的期权价格所蕴含的波动率。
计算隐含波动率
波动率产生的原因
Fama&French的研究
波动率计算的时间问题
11.6 红利的影响
有红利的欧式期权
有红利的欧式看涨期权
有红利的美式看涨期权
Black近似
例子
看涨期权盈利状况 现值
max[SerT X ,0]
erT max[SerT X ,0] max[S XerT ,0]
c S Xe rT
练习
11.4 风险中性定价及其应用
Black-Scholes微分方程不包含任何受投资者的风险偏好影响的变 量。 方程中出现的变量为股票当前价格、时间、股票价格方差和无风 险利率；都独立于风险偏好。 假设：所有的投资者都是风险中性的。
解方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件
欧式看涨期权，当t=T时：
f max(S X ,0)
欧式看跌期权，当t=T时：
f max(X S ,0)
B-S公式
N(x)的计算
Black-Scholes公式的性质
股票价格S很大时 期望看涨期权价格
S Xe rT
波动率趋近于0
算术平均收益率和几何平均收益率
B、波动率
波动率的估计
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推
导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
f f 1 2 f 2 2 f df ( S S ) dt Sdz 2 S t 2 S S
f
f S S
r t
f 1 2 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t 2 t 2 S S
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
Black-Scholes微分方程