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（3）B-S微分方程的推导
股票及衍生品的运动过程分别为：
dS Sdt Sdz
df
f S
S f
t
1 2
2 f S 2
2
S
2
dt＋
f S
Sdz
为消除不确定性，构造投资组合：
衍生品：－1；股票：＋
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投资组合的价值为：
- f f S S
投资组合的价值变动为：
d -df f dS S
问题：微分方程难于求解！
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4、风险中性定价方法
观察B-S微分方程及欧式Call 的边界条件发现：
C(S, t)与 S、r、t、T、σ以及 K 有关，而与股票
的期望收益率μ无关。这说明欧式Call 的价格与 投资者的风险偏好无关。 在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中 性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证
其中：
ln(S / K ) (r 2 / 2)(T t)
d1
(T t)
d2
ln(S
/
K)
(r
2
T t
/
2)(T
t)
d1
T t
此即 Black-Scholes 期权定价公式。
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如何理解B-S期权定价公式
（1） SN (d1) 可看作证券或无价值看涨期权的多头； 可看K作er(KTt份)N (现d2 )金或无价值看涨期权的多头。
1 2S2
2
2 f S 2
rf
此即 Black-Scholes 微分方程。
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任意依赖于标的资产 S 的衍生品价格 f 应
满足该方程
衍生品的价格由微分方程的边界条件决定
例：欧式看涨期权的边界条件为：
C(0，t)＝ 0 C(ST ,T)= max（ST – K，0）
理论上通过解B-S微分方程，可得 Call 的价格。
z
N (0,
T t)
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3、Black-Scholes 微分方程
（1）原理 衍生品与标的资产（股票）价格不确定性
的来源相同 与二叉树期权定价模型的思想类似，我们
通过构造股票与衍生品的组合来消除这种 不确定性
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（2）假设条件
股价遵循几何布朗运动 股票交易连续进行，且股票无限可分 不存在交易费用及税收 允许卖空，且可利用所有卖空所得 在衍生品有效期间，股票不支付股利 在衍生品有效期间，无风险利率保持不变 所有无风险套利机会均被消除
Black-Scholes 期权定价模型
王春雷
1
引言
二叉树期权定价模型： 变量离散、时间离散
当股价的变动是一个连续的运动过程 变量连续、时间连续
如何对以它为标的资产的衍生品定价？ ——本节讨论的问题
2
1、股票价格的运动过程
dS dt dz, dz dt
S
dS ：股票的瞬间收益率
S
：股票的期望瞬间收益率
（2）可以证明，f / S N (d1) 。为构造一份欧 式看涨期权，需持有 N(d1) 份证券多头，以及卖 空数量为 K erT N (d2 ) 的现金。
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Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的 欧式看涨期权的定价（通过 Call-Put 平价公式 可计算欧式看跌期权的价值）。
S
t 2 S 2
S
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例1：伊藤引理的运用
若 f (S,t) ln S ，则 f 1 , f 0,
S S t
2 f 1
S 2
S2
d ln S ( 2 )dt dz
2
该微分方程的解为：
ln ST ln St ( 2 / 2)(T t) (z(T ) z(t))]
ST
S e , ( 2 / 2)(T t )z t
：股价收益率的瞬间标准差
3
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位）
2 计算每期以复利计算的回报率
ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
s
1 n 1
n i 1(ui源自u )24 波动率估计 ˆ s
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
价值变动仅与时间 dt 有关，因此该组合
成功消除了 dz 带来的不确定性 12
根据无套利定价原理，组合收益率应 等于无风险利率 r (无套利机会)：
d rdt
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
r(- f
f S
S )dt
f rS f t S
t
4
2、伊藤引理（Ito’s lemma）
若已知 x 的运动过程，利用伊藤引理 能够推知函数 G (x, t ) 的运动过程
由于任何衍生品价格均为其标的资产 价格及时间的函数，因而可利用伊藤 引理推导衍生品价格的运动过程
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伊藤引理（Ito，1951）
若随机过程 x 遵循伊藤过程：
dx a(x, t)dt b(x, t)dz
则G (x, t )将遵循如下伊藤过程：
dG
( G x
a
G t
1 2
2G x2
b2 )dt
G x
bdz
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股价运动是一种简单的伊藤过程：
dS Sdt Sdz
以股票为标的资产的衍生品价格 f (S, t ) ， 其运动过程可通过伊藤引理得到：
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
注意： 该公式只在一定的假设条件下成立，如 市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、 允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几 何布朗运动等。
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例：Black-Scholes公式的运用
假设一种不支付红利股票目前的市价为42元， 某投资者购买一份以该股票为标的资产的欧式 看涨期权，6个月后到期，执行价格为40元。假 设该股票年波动率为20%，6月期国库券年利率 为10%，问：该份期权价格应为多少元？
解：由上述条件知： S=42, K=40, T-t=0.5 , σ=0.2, r=0.1
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根据 Call - Put 平价公式 有：
计算得到欧式看跌期权价格为：P =0.81(元)
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影响欧式看涨期权价格的因素
当期股价 S 越高，期权价格越高 到期执行价格 K 越高，期权价格越低 距离到期日时间 T-t 越长，期权价格越高
券的期望收益率等于无风险利率）
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用风险中性方法对欧式 Call 定价
假设股价期望收益率为无风险利率 r，则：
欧式 Call 到期时的期望收益为： Eˆ[max(ST K , 0)]
将该期望收益以无风险利率折现，得到欧式 Call 价格：
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得： C(S, t) SN (d1) Ker(T t) N (d2 ) ★