高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
运算规律：①|||'|A A =②||||A k kA n=③||||||||BA B A AB ==这里A ，B 均为n 级方阵。
二、矩阵的逆 1、基本概念（1）矩阵可逆的定义：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是单位矩阵。
（2）伴随矩阵：设ij A 是矩阵=nn n n a a a a A 1111中元素ij a 的代数余子式，矩阵=nn nn A A A A A 1111*称为A 的伴随矩阵。
1、基本性质（1）矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化（0||≠A ），而||*1A A A =−（2）如果矩阵A ，B 可逆，那么'A 与AB 也可逆，且)'()'(11−−=A A ，111)(−−−=A B AB 。
（3）设A 是n s ×矩阵，如果P 是s s ×可逆矩阵，Q 是n n ×可逆矩阵，那么)()()(AQ rank PA rank A rank ==三、矩阵分块对于两个有相同分块的准对角矩阵 =l A A A 001 ，=l B B B 001如果它们相应的分块是同级的，则（1）=l l B A B A AB 0011 ；（2）++=+l l B A B A B A 0011 ；（3）||||||||21l A A A A =；（4）A 可逆的充要条件是l A A A ,,,21 可逆，且此时，=−−−111100l A A A。
四、初等变换与初等矩阵 1、基本概念（1）初等变换：初等行列变换称为初等变换所得到的矩阵。
①用一个非零的数k 乘矩阵的第i 行（列）记作)(k c k r i i ×× ②互换矩阵中i ，j 两行（列）的位置，记作)(j i j i c c r r ↔↔③将第i 行（列）的k 倍加到第j 行（列）上，记作)(j i i j kc c kr r ++称为矩阵的三种初等行（列）矩阵。
（2）初等方阵：单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。
2、基本性质（1）对一个n s ×矩阵A 作一次初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ×初等矩阵；对A 作一次初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ×初等矩阵。
（2）任意一个n s ×矩阵A 都与一形式为10000100001000000000的等价，它称为矩阵A 的标准型，主对角线上1的个数等于A 的秩。
（3）n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。
（4）两个n s ×矩阵A ，B 等价的充分必要条件是，存在可逆的s 级矩阵P 与可逆的n 级矩阵Q ，使PAQ B =。
3、用初等变换求逆矩阵的方法把n 级矩阵A ，E 这两个n n ×矩阵凑在一起，得到一个n n 2×矩阵)(AE ，用初等行变换把它的左边一半化成E ，这时，右边的一半就是1−A 。
第五章 二次型1、二次型及其矩阵表示（1）二次型：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式nn nn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f ++++++++= 222222112112211121222),,,(称为数域P 上的一个n 元二次型。
（2）二次型矩阵：设),,,(21n x x x f 是数域P 上的n 元二次型，),,,(21n x x x f 可写成矩阵形式AX X x x x f n '),,,(21= 。
其中)',,,(21n x x x X =，n n ij a A ×=)(，A A ='。
A 称为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵。
秩（A ）称为二次型),,,(21n x x x f 的秩。
（3）矩阵的合同：数域P 上n n ×矩阵A ，B 称为合同的，如果有属于P 上可逆的n n ×矩阵C ，使AC C B '=。
2、标准型及规范性定理 数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型2222211nn y d y d y d +++ ，用矩阵的语言叙述，即数域P 上任意一个对称矩阵合同于一个对角矩阵。
定理 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型22221r z z z +++ ，且规范形是唯一的。
定理 任意一个实系数的二次型经过一适当的非退化的线性替换化成规范型22122221q p p p z z z z z ++−−−+++ ，且规范形是唯一的，其中p 称为此二次型的正惯性指数，q r p =−称为此二次型的负惯指数，sp q =−称为此二次型的符号差。
3、正定二次型及正定矩阵（1）基本概念①正定二次型：实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有0),,,(21>n c c c f 。
②正定矩阵：实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X '正定。
③负定、半正定、半负定、不定的二次型：设),,,(21n x x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,如果0),,,(21<n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为负定的；如果都有0),,,(21≥n c c c f 那么称),,,(21n x x x f 为半正定的；如果都有0),,,(21≤n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半负定的；如果它既不是半正定的又不是半负定的，那么),,,(21n x x x f 就称为不定的。
（2）正定二次型、正定矩阵的判定：对于实二次型AX X x x x f n '),,,(21= ，其中A 是实对称的，下列条件等价：①),,,(21n x x x f 是正定的； ②A 是正定的；③),,,(21n x x x f 的正惯指数为n ； ④A 与单位矩阵合同； ⑤A 的各阶顺序主子式大于零。
第六章 线性空间1、线性空间的定义设V 是一个非空集合，P 是一个数域。
在集合V 的元素之间定义了一种代数运算；这就是说，给出了一个法则，对于V 中的任意两个元素α、β在V 中都有唯一的一个元素γ与它们对应，称为α与β的和，记为βαγ+=。
在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于属于P 中任意数k 与V 中任意元素α，在V 中都有唯一的元素δ与它们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =。
如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域P 上的线性空间。
（1）αββα+=+；（2）γβαγβα++=++)()(；（3）在V 中有一元素0，对于V 中任意元素α都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）； （4）对于V 中的每一个元素α，都有V 中的元素β，使得0=+βα（β称为α的负元素）；（5）αα=1； （6）αα)()(kl l k =； （7）αααl k l k +=+)(； （8）βαβαk k k +=+)(。
2、维数，基与坐标（1）如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量。
但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的。
（2）如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量n ααα,,,21 ，且V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么V 是n 维的，而n ααα,,,21 就是V 的一组基。
（3）在n 维线性空间中，n 个线性无关的向量n εεε,,,21 称为V 的一组基。
设α是V 中任一向量，于是n εεε,,,21 ，α线性相关，因此α可以被基n εεε,,,21 唯一的线性表出n n a a a εεεα+++= 2211，其中系数n a a a ,,,21 称为α在基n εεε,,,21 下的坐标，记),,,(21n a a a 。