平面向量知识点小结
1. 有向线段:具有 叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,应注意:始点一定要写在终点的前面,
2. 已知AB ,线段AB 的 叫做有向AB 线段AB 的长(或模),的长度记作: .有向线段包含三个要素: 、 、 .
3. 向量:具有 和 的量叫做向量,只有大小和没有方向的向量叫做 .有向线段的长度表示向量的 ,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段
AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…
等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.
4. 相等向量: 的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作
5. 零向量:长度等于零的向量叫做 ,记作 .零向量的方向 .
6. 平行向量(共线向量):两个向量的方向 则称两个向量平行，平行向量也称 (另一种理解：如果表示两个向量的有向线段所在的直线互相平行或重合为共线向量.向量a 平行于向量b ,记作a ∥b . 与任一个向量共线(平行).
7. 相反向量:与向量a 等长且 的向量叫做向量a 的相反向量,记作 .显然, ()0a a +-=.
8. 单位向量:长度等于1的向量,叫做 .与向量a 同方向的单位向量通常记作 .
9. 已知向量a 、b ,在平面上任取一点A,作AB a =,BC b =,作向
量AC ,则向量 叫做向量a 与b 的和(或和向量),记作a +b ,即a +b = = .这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则. 10. 已知向量a 、b ,在平面上任取一点A,作AB a =,AD b =,如果A 、B 、D 不共线,则以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC = = .这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.
11. 已知向量a 、
b ,在平面上任取一点O,作OA a =,OB b =,则b +BA =a ,向量BA 叫做向量a 与b 的差,并记作a -b ,即BA =
= .
12. 由向量的减法推知:
(1) 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到 的向量;
(2) 一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ;
(3) 一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的 .
13. 向量加法满足如下运算律: (1) ; (2) 14. 数乘向量的一般定义:实数λ和向量a 的乘积是一个向量,记作a λ.
当0λ>时,a λ与a 同方向,
a a λλ││ =│ ∣│ │ ; 当0λ<时,a λ与a 反方向,
a a λλ││ =│ ∣│ │ ; 当0λ=或0a =时,000a λ⋅=⋅=. ;
15. 数乘向量满足以下运算律:(1)1a =a ,(-1)a =a -; (2)()()a a λμλμ=
()a a a λμλμ+=+; (4)()a b a b λλλ+=+.
16. 平行向量基本定理:如果向量0b ≠,则a b ∥的充分必要条件是,存在唯一的实数λ,使 .
17. 设1212(,),(,)a a a b b b ==则→
a ∥→
b ⇔
18. 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量→
a ，都有且只有一对实数1a ，2a 使得 。

其中1a 叫做向量在x 轴上的坐标,2a 叫做向量在y 轴上的坐标(1a ，
2a )叫做向量→
a 在平面直角坐标系中的坐标，记作： .
19. 相等的向量对应的坐标相等.如果→a =(1a ，2a )，→b =(1b ，2b )，则→a =→
b ⇔
20. 向量的直角坐标:任意向量AB 的坐标等于 的坐标减去 的
坐标,即若A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,则→
AB =→
OB -→
OA = = .
21.向量的坐标运算公式:设1212(,),(,)a a a b b b ==,则:
→
a +→
b = =
→
a -→
b = =
→
a λ = =
22.向量的长度(模)公式:若12(,)a a a =,则;→
a =
若A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则→
AB = .
23.中点公式:若A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,点M(x,y)是线段AB 的中点,则
24. 已知→a 与→b 为非零向量，则 叫做→a 与→
b 的内积，也称为数量积或点积，记作 即： 25. 设→a 与→b 为两个非零向量，则→a ⊥→
b ⇔ ||→
→
•b a ⇔ →→
•a a =
→
→•b a cos = 26.→
a =(1a ，2a )，→
b =(1b ，2b ),则→
→
•a a =
→
a ⊥→
b ⇔
→
→
•b a cos =。