容量为20 容量为
• 最小截集： • 容量最小截集的称为网络G的最小截集。 • 最大流-最小截集定理： • 在任一个网络D中，从vs到vt的最大流的 流量等于分离的最小截集的容量。
（二）、 求最大流的标号法
标号过程： 1． 给发点vs 标号（0，+∞）。 2． 取一个已标号的点vi，对于vi一切未标号的邻 接点vj 按下列规则处理： （1）如果边 (v j , vi ) ∈ E ，且 f j i > 0 ，那么给vj 标 号 (−vi , δ j ) ，其中： δ j = min( f j i , δ i ) （2）如果边 (vi , v j ) ∈ E ，且 f ij < cij，那么给vj 标号 ( +vi , δ δ j = min(ci j − f i j , δ i ) ，其中：j ) 3．重复步骤2，直到vt被标号或标号过程无法进 行下去，则标号结束。若vt被标号，则存在一条增广 链，转调整过程；若vt未被标号，而标号过程无法进 行下去，这时的可行流就是最大流。
2．去掉所有标号，回到第一步，对可行流 重新标号。
求下图所示网络中的最大流，弧旁数为
v2 (3 , 3) vs (5 , 1) (1 , 1) v1 （-v1, 1） ） v2 (3 , 3) （0，+∞） ， ） vs (5 , 1) v1 （+ vs , 4） ） (2 , 2) (1 ,1) (1 , 1) (3 ,0) (2 ,1) v3 （-v2 ，1） ） (2 , 2) (4 ,3) (1 ,1) (3 ,0) (2 ,1) v3 （+v2，1） ） v4 (5 ,3) v4 (5 ,3) vt
f = f (v i , v j ) = { f i j }
{
}
其中f(v 叫做弧(v 上的流量 其中 i ,vj) =fij 叫做弧 i，vj)上的流量。 上的流量。
2、称满足下列条件的流为可行流： （1）容量条件：对于每一个弧（vi ,vj）∈E 有 0 δ fij δ cij 。 （2）平衡条件： 对于发点vs，有 ∑ f − ∑ f = W
+ −
0 ≤ f i j < ci j 0 < f i j ≤ ci j
(v i , v j ) ∈ µ + (v i , v j ) ∈ µ −
µ + 中的每一条弧都是非饱和弧 即 µ − 中的每一条弧都是非零流弧 即
则称 µ 为从vs到vt 的关于f 的一条可增广链 。 推论 可行流f 是最大流的充分必要条件是不存 在从vs到vt 的关于f 的一条可增广链。
可行流中 fij＝cij 的弧叫做饱和弧，fij＜ cij的弧叫做非饱和弧。fij＞0 的弧为非零 流弧，fij＝0 的弧叫做零流弧。
3、容量网络G，若 µ 为网络中从vs到vt的 一条链，给 µ 定向为从vs到vt，µ 上的弧,凡与 µ 方向相同的称为前向弧 前向弧，凡与 µ 方向相反的 前向弧 称为后向弧 后向弧，其集合分别用 µ 和 µ 表示。 后向弧 f 是一个可行流，如果满足：
容量为24 容量为
而 ( v 3 , v 2 ) 和 ( v 4 , v 5 )3 (5) 6(3) 4 (1) 5 (2) 9 (3) 5 (2)
v5
4 (2) 4 (1) 5 (0)
9 (5)
v1
v4
v7
10 (1)
v3
v6
V 设 V1′ = {v1 , v 2 } ， 2′ = {v 3 , v4 , v5 , v 6 , v7 } 则截集为 (V1′,V2′) = {(v1v 3 ), (v 2 , v4 ), (v 2 , v5 )}
得到新可行流f (k) 。对f (k)重复上面步骤，返回（2）。 例8.11 求网络的最小费用最大流，弧旁权是（bij , cij）
v1 (4 ,8) (2 ,3) vs (1 ,4) v2 (3 ,2) (6 ,7) vt (1 ,6) v3 (2 ,5)
v1 (4 ,8) (2 ,3) vs (1 ,4)
四、 最大流问题 （一）、 基本概念
1、设一个赋权有向图D=（V, E）,在V中指定一个发点 、设一个赋权有向图 在 中指定一个发点 vs和一个收点 t ,其它的点叫做中间点。对于 中的每一个 和一个收点v 其它的点叫做中间点 对于D中的每一个 其它的点叫做中间点。 都有一个非负数c 叫做弧的容量。 弧（vi , vj）∈E ,都有一个非负数 ij,叫做弧的容量。我们 都有一个非负数 叫做弧的容量 把这样的图D叫做一个容量网络 简称网络 叫做一个容量网络， 网络， 把这样的图 叫做一个容量网络，简称网络，记做 D=（V，E，C）。 ） （ 网络D上的流 是指定义在弧集合E上的一个函数 上的流， 网络 上的流，是指定义在弧集合 上的一个函数
( v s , v j )∈E sj ( v j , v s )∈E js
对于收点vt ，有 ∑
( v t , v j )∈E
ft j −
( v j , v t )∈E
∑f
jt
= −W
对于中间点，有 ∑ f − ∑ f = 0 W为网络流的总流量。 可行流总是存在的，例如f={0}就是流量为0 的可行流。最大流问题就是在流量网络中， 寻找流量最大的可行流。
µ + = {(v1 , v 2 ), (v 3 , v 6 ), (v 6 , v 7 )} µ − = {(v 3 , v 2 )}
µ
是一个增广链
显然图中增广链不止一条
4、容量网络D =（V，E，C），vs为始点， vt为终点。如果把V分成两个非空集合 S , S 使 v ∈ S , v ∈ S ，则所有始点属于 ，而终 所有始点属于S， 所有始点属于 的弧的集合， 点属于 S 的弧的集合，称为由S决定的截集, 记作 ( S , S )。截集 ( S , S ) 中所有弧的容量之和， 称为这个截集的容量，记为 C ( S , S ) 。
7 vs 3 S
v1 4
5 5 6
v3 7 3 8 v4 vt
v2
5 (3)
v2
13 (5) 6(3) 4 (1) 5 (2) 9 (3) 5 (2)
v5
4 (2) 4 (1) 5 (0)
9 (5)
v1
v4
v7
10 (1)
v3
v6
V 设 V1 = {v1 , v 2 , v5 } ， 2 = {v 3 , v4 , v 6 , v7 } 则截集为 (V1 ,V2 ) = {(v1v 3 ), (v 2 , v4 ), (v5 , v 7 )}
调整过程 按点的第一个标号寻找一条增广链 对vt,,按逆方向进行调整，下式中的 δ 为δ t
fi j + δ 1．令 f i′j = f i j − δ fi j (v i , v j ) ∈ µ + (v i , v j ) ∈ µ − (v i , v j ) ∉ µ
70（70） （ ）
v1
50（50） （ ） 50（20） （ ）
vt1 ∞ （150 ） v t
∞ （200 ）
v s1
70（50） （ ） ∞ （120 ） 130（100） （ ）
（ ） v2 150（150） 100（100） （ ）
vt 2
vs
∞ （230 ） vs 2 150（130） （ ）
(c i j , f i j )
(4 ,3)
(+ v ，1) vt 3
v2 (3 , 3) vs (5 , 2) (1 , 0) v1 v2 (3 , 3) （0，+∞） ， ） vs (5 , 2) (1 , 0) v1 （+ vs , 3） ）
(4 ,3) (1 ,0)
v4 (5 ,3) (3 ,0) (2 ,2) vt
u+
寻找关于f 的最小费用增广链： 构造一个关于f 的赋权有向图L(f ) ，其顶点是 原网络G的顶点，而将G中的每一条弧 ( vi, vj )变成两 个相反方向的弧（vi， vj）和(vj , vi)，并且定义图中 弧的权lij为： 1.当 (vi , v j ) ∈ E ，令 d i j 当 f i j < c i j
li j = + ∞ 当 f i j = ci j
2.当（vj，vi）为原来网络G中（vi， vj）的反向弧， 令 − d i j 当 f i j > 0
l ji = + ∞ 当 fi j = 0
在网络G中寻找关于f 的最小费用增广链等价于 在L(f )中寻求从vs 到vt 的最短路。
5 (3)
v2
13 (5) 6(3) 4 (1) 5 (2) 9 (3) 5 (2)
v5
4 (2) 4 (1) 5 (0)
9 (5)
v1
v4
v7
10 (1)
v3
v6
µ = {v1 , (v1 , v 2 ), v 2 , (v 3 , v 2 ), v 3 , (v 3 , v 6 ), v 6 , (v 6 , v 7 ), v 7 }
s t
S = ( v s , v 2 ) S = ( v1 , v 3 , v 4 , v t ) ( S , S ) = {(v s , v1 ) , (v 2 , v4 ) , (v 2 , v 3 )} C ( S , S ) = l s1 + l 24 + l 23 = 7 + 6 + 5 = 18
4 (2) 4 (1) 5 (0)
9 (5)
v1
v4
v7
10 (1)
v3
v6
截集1 截集1
v2
13 (11) 6(6) 4 (0) 5 (5) 9 (9)