第2章 概率(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．抛掷两枚骰子，所得点数之和为ξ，那么{ξ＝4}表示的随机试验结果是__________．2．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次概率不大于恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是________．3．一袋中装有5个白球和3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝________.(用式子表示)4．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为________．(用式子表示)5．设随机变量ξ～B (3，12)，则P (ξ＝2)的值为______． 6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示，若随机变量η＝ξ2P (η＝1)＝________.ξ －2 －1 0 1 3P7.接种某疫苗后，至少有3人出现发热反应的概率为________(精确到0.01)．8．随机变量ξ的概率分布如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝13，则V (ξ)的值是________．ξ －1 0 1P a b c9.X 表示击中目标的次数，则P (X ≥2)＝________.10．采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a ，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为______．11．从一副混合后的52张扑克牌(不含大、小王)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ＋B )＝________(结果用最简分数表示)．12．设随机变量X 等可能地取1,2,3，…，n ，若P (X <4)＝0.3，则E (X )＝________.13．某一射手射击所得的环数X 的分布列如下：X 4 5 6 7 8 9 10P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.2214．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p 、q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξξ 0 1 2 3P a b则a ＝________，b ＝二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X 的概率分布表，并求其均值和方差．16．(14分)甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 、Y ，且X 、Y 的分布列分别为：X 1 2 3P a 0.1 0.5Y 1 2 3P 0.2 b 0.3(1)求a ，b 的值；(2)计算X 、Y 的期望与方差，并依此分析甲、乙的技术状况．17．(14分)某车间的5台机床中的任何一台在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内这5台机床中至少有2台需要工人照管的概率是多少？(结果保留两位有效数字) 18．(16分)生产工艺工程中产品的尺寸偏差X (mm)～N (0,22)，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4 mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．(精确到0.001)19．(16分)甲、乙、丙三名篮球运动员，各投篮一次，投中的概率如下表所示(0<p <1)：选手 甲 乙 丙概率 p p若三人各投一次，恰有k 名运动员投中的概率记为P k ＝P (X ＝k )，k ＝0,1,2,3.(1)求X 的概率分布表；(2)若投中人数的均值是2，求p 的值．20．(16分)某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100 m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的． (1)求这位射手在三次射击中命中目标的概率；(2)求这位射手在这次射击比赛中得分的均值．第2章 概率(A)答案1．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点解析 掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．2．[0.4,1)3．C 911×(38)9×(58)2×38解析 {ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次中有9次取到红球，从而P (ξ＝12)＝C 911×(38)9×(58)2×38. 4.C 680C 420C 10100解析 从100个球中任取10个球的方法有C 10100种，从100个球中取10个球，恰有6个红球的方法有C 680C 420.所以其概率为C 680C 420C 10100. 5.38解析 P (ξ＝2)＝C 23(12)2×(12)＝38. 6.12解析 P (η＝1)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝1)＝210＋310＝510＝12. 7．0.94解析 设出现发热反应的人数为ξ，则P (ξ＝3)＝C 35×0.83×0.22＝0.204 8；P (ξ＝4)＝C 45×0.84×0.2＝0.409 6；P (ξ＝5)＝C 55×0.85＝0.327 68.所以P ＝0.204 8＋0.409 6＋0.327 68＝0.942 08≈0.94. 8.59 解析 由题意列方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ －1·a ＋0·b ＋1·c ＝13，a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝16，b ＝13，c ＝12，9.81125 解析 P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 230.62×0.4＋C 330.63＝3×925×25＋1×27125＝81125. 10.16解析 所求概率为前二次没抽到的概率(56×45)与第三次恰好抽到的概率的积(14)， ∴56×45×14＝16. 11.726解析 一副扑克牌中有1张红桃K,13张黑桃，事件A 与事件B 为互斥事件，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝726. 12．5.513．0.88解析 根据射手射击所得的环数X 的分布列，有P (X ＝7)＝0.09，P (X ＝8)＝0.28， P (X ＝9)＝0.29，P (X ＝10)＝0.22.所求的概率为P (X ≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88. 14.37125 58125解析 由题意知P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝15(1－p )(1－q )＝6125， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125. 整理得pq ＝625，p ＋q ＝1. 由p >q ，可得p ＝35，q ＝25. 则a ＝P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝45(1－p )(1－q )＋15p (1－q )＋15(1－p )q ＝37125， b ＝P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝58125. 15．解 X ＝－3，－1,1,3，且P (X ＝－3)＝12×12×12＝18；P (X ＝－1)＝C 13×12×(12)2＝38；P (X ＝1)＝C 23×(12)2×12＝38；P (X ＝3)＝12×12×12＝18， ∴X 的概率分布表为 X －3 －1 1 3P∴E (X )＝0，V (X )＝3.16．解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知，a ＋0.1＋0.5＝1，即a ＝0.4；0．2＋b ＋0.3＝1，即b ＝0.5.(2)E (X )＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (Y )＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1；V (X )＝(1－2.1)2×0.4＋(2－2.1)2×0.1＋(3－2.1)2×0.5＝0.89，V (Y )＝(1－2.1)2×0.2＋(2－2.1)2×0.5＋(3－2.1)2×0.3＝0.49.计算结果E (X )＝E (Y )，说明甲乙射击的平均得分一样，但是V (X )>V (Y )，说明甲得分的稳定性不如乙．17．解 设事件A ：“1台机床在1小时内需要工人照管”，则有P (A )＝14. 设X ＝k 表示在1小时内有k 台机床需要工人照管，k ＝0,1,2,3,4,5，所以5台机床在1小时内需要照管相当于5次独立重复试验，而事件A 至少发生2次的概率为1－P (X ＝1)－P (X ＝0)＝1－⎣⎡⎦⎤C 15⎝⎛⎭⎫14·⎝⎛⎭⎫344＋C 05⎝⎛⎭⎫140·⎝⎛⎭⎫345≈0.37，∴所求的概率为0.37.18．解 由题意X ～N (0,22)，求得P (|X |≤4)＝P (－4≤X ≤4)＝0.954.设Y 表示5件产品中合格品个数，则Y ～B (5,0.954)．∴P (Y ≥5×0.8)＝P (Y ≥4)＝C 45×(0.954)4×0.046＋C 55×(0.954)5≈0.190 5＋0.7902≈0.981.故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率为0.981.19．解 (1)P 0＝12(1－p )2；P 1＝12(1－p )2＋2×12p (1－p )＝－12p 2＋12，P 2＝ 2×12×p (1－p )＋12p 2＝－12p 2＋p ，P 3＝12p 2， ∴X 的概率分布表为X 0 1 2 3P 12(1－p )2 －12p 2＋12 －12p 2＋p 12p 2 (2)E (X )＝0×12(1－p )2＋1×(－12p 2＋12)＋2×(－12p 2＋p )＋3×12p 2＝2p ＋12， ∴2p ＋12＝2，∴p ＝34. 20．解 记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A ，B ，C ，三次都未击中目标为事件D ，依题意P (A )＝12，设在x m 处击中目标的概率为P (x )，则P (x )＝k x 2，且12＝k 1002， ∴k ＝5 000，即P (x )＝5 000x2， ∴P (B )＝5 0001502＝29，P (C )＝5 0002002＝18，P (D )＝12×79×78＝49144. (1)由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率P ＝P (A )＋P (A ·B )＋P (A ·B ·C )＝P (A )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )·P (C )＝12＋(1－12)×29＋(1－12)×(1－29)×18＝95144.(2)依题意，设射手甲得分为X ，则P (X ＝3)＝12， P (X ＝2)＝12×29＝19，P (X ＝1)＝12×79×18＝7144，P (X ＝0)＝49144， ∴E (X )＝3×12＋2×19＋1×7144＋0×49144＝255144＝8548.。