（12） exdx ex c ；
（13） axdx ax 。
ln a
3．换元积分法
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（1）第一类换元法（凑微分法）
( ) 设 f（u）具有原函数，u＝j x 可导，则有换元公式
f x ' x dx f u du ux

【例】求不定积分 xexdx
解：令 u＝x， exdx = d (ex )
则
xexdx xd (ex ) xex exdx
xex ex
5．简单有理函数的积分
（1）有理函数的积分
( ) P x
两个多项式的商
称为有理函数，又称有理分式．我们总假定分子多项式 P（x）
【例】求
。
解：
（2）第二类换元法
【定理】设 x＝ψ（x）是单调的、可导的函数，并且 '（x）≠O．又设 f t ' t
具有原函数，则有换元公式
f xdx f t ' t dt t 1x ，
其中 1 （x）是 x＝ψ（t）的反函数。
4．分部积分法 设函数 u＝u（x）及 v＝v（x）具有连续导数．那么，两个函数乘积的导数公式为
( ) ( ) uv ' = u'v + uv' ，移项，得 uv' = uv ' - u'v 。
对这个等式两边求不定积分，得
uv'dv uv u'vdu 。 上述公式称为分部积分公式．如果求 uv'dx 有困难，而求 u'vdu 比较容易时分部积分
公式就可以发挥作用了。
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Q (x)
与分母多项式 Q（x）之间是没有公因式的．当分子多项式 P（x）的次数小于分母多项式 Q
（x）的次数时，称这有理函数为真分式，否则称为假分式。
对于真分式
P Q
(x) (x)
，如果分母可分解为两个多项式的乘积
Q
(x)
=
Q1
(x)Q2
(x)
，且
( ) ( ) ( ) P ( ) ( ) ( ) Q1（x）与 Q2（x）没有公因式，那么它可分拆成两个真分式之和 Q
分变量。 （2）原函数存在定理 原函数存在定理：若 f（x）在[a，b]上连续，则必存在原函数。 此条件为充分条件，而非必要条件．即若 f（x）存在原函数，不能推出 f（x）在[a，b]
上连续。 （3）不定积分的性质 根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质： ①设函数 f（x）及 g（x）的原函数存在，则
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第 3 章 一元函数积分学
3.1 考点精讲 一、不定积分 1．不定积分 （1）原函数与不定积分的定义 ①原函数的定义 如果在区间 I 上，可导函数 F（x）的导函数为 f（x），即对任一 x∈I，都有
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f x g xdx f x dx g x dx 。 ②设函数 f（x）的原函数存在，k 为非零常数，则 kf x dx k f x dx 。
2．基本积分公式
积分运算是微分运算的逆运算，那么很自然地可以从导数公式得到相应的积分公式．以
l
等三类函数（这里 p2 4q 0 ，P1
x
为小于 k
( ) 次的多项式， P2 x 为小于 2l 次的多项式）。
（2）可化为有理函数的积分的解法
如果被积函数中含有简单根式
或
，可以令这个简单根式为 u。由于这
样的变换具有反函数，且反函数是 u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分。
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x x
= P1 x Q1 x
+ P2 Q2
x x
。
( ) ( ) 上述步骤称为把真分式化成部分分式之和．如果 Q1 x 或 Q2 x 还能再分解成两个没
有公因式的多项式的乘积，那么就可再分拆成更简单的部分分式．最后，有理函数的分解式
( ( ) ) ( ) 中只出现多项式
P1
x
x a
k
、
P2 x x2 + px + q
F ' ( X ) = f (x) 或 F ' ( X ) = f (x)dx ，
那么函数 F（x）就称为 f（x）或 f（x）dx 在区间 I 上的原函数。 ②不定积分的定义 在区间 I 上，函数 f（x）的带有任意常数项的原函数称为 f（x）（或 f（x）dx）在区
间 I 上的不定积分，记作 f xdx 。 其中记号 称为积分号，f（x）称为被积函数，f（x）dx 称为被积表达式，x 称为积
（7） sin xdx cos x c ；
（8）
dx cos2 x
sec2 xdx tan x c ；
（9）
dx sin2 x
cs c2 xdx co t x c ；
（10） sec x tan xdx sec x c ；
（11） csc x cot xdx csc x c ；
下是一些基本的积分公式，通常称为基本积分表。
（1） kdx kx c （k 是常数）；
（2）
x dx
x 1 1
c
1
；
（3）
1dx x
ln
x
c；
（4）
dx 1 x2
arctan x c ；
（5） dx arcsin x c ；
1 x2
（6） cos xdx sin x c ；
1 tan2 x
, cos x
cos2
x 2
sin2
x 2
1 tan2 x
2
sec2 x
1 tan2 1 tan2
x
2 x
2
2
2
2
( ) 作变换 u＝ tan x －p < x < p ，那么 2
sin
x
=
2u 1+u2
， cos
x
=
1- u2 1+u2
而
x＝2arctanu，从而
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【例】求
sin
1 sin x
x 1 cos
x
dx
。
解：由三角函数知道，sinx 与 cosx 都可以用 tan x 等的有理式表示示，即 2
sin
x
2 sin
x cos 2
x 2
2 tan x 2
sec2 x
2 tan x 2