1
1•设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内(
2 2
A f (x)是增函数，g (x)是减函数
Bf (x)是减函数，g(x)是增函数
C二者都是增函数
D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是()
A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小
1
3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺()
A连续点E可去间断点C跳跃间断点
4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )
n 1 n
A X n ( 1)
B X n sin -
n 2
1 1
C X n n (a 1)
D X n cos—
a n
5、若f "(x)在X。
处取得最大值，则必有()
A f /(X。
)o Bf /(X。
)o
Cf /(X。
)0且f''( X o)<O Df''(X o)不存在或f'(X o) 0
4
6、曲线y xe x( )
A仅有水平渐近线E仅有铅直渐近线
C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线1~6 DDBDBD
一、填空题
1
1、d ) = ----dx
x +1
2、求过点(2,0 )的一条直线，使它与曲线y=
-相切。
这条直线方程为:
x
2x
3、函数y=-—的反函数及其定义域与值域分别是：
2x+1
4、y= 3、x的拐点为：
2
D同阶但不等价无价小D无穷型间断点
5、 若
则a,b 的值分别为：
X 1
X + 2x-3
2
1 In x 1 ;
2
y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0)
x
lim
5解：原式=x 1
(x 1)( x m )
~~1)( x 7 b
lim
3) x
7, a
1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数()
3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 ()
4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有
f(x)在X o 处连续不可导(
5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1)
f (0),则必有 A>B>C(
1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1
2 ~
lim x e x x 0
1 e 解：原式=lim x 0 1 x x
2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x
3 3
4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3)
1 lim e x x 0 3 3
2 2 f '(x)
4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3
2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x
3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3
3 .. .3
3
4 , 3
(x 10)
108 x (x
10)2
4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x
x 0
2
2
4 ,
2I ncosx
解：原式=lim e x
x 0
5
tan 3xdx
2
=sec x tan xdx tan xdx
6 求
xarctanxdx
Q lim p Incosx x 0x 2
原式e 2
I
>解：In y 5ln3x
1
1 Jx 1
cosx
I
>y
y
1 5 3
11
y 2 x 2
1 2(x 1)
1 2(x 2)
1
cosx
(sin x) tanx lim
lim x x x 0 x
x 0 x
2 2
2
4
Incosx
lim / e x 0
解：原式=tan 2xtanxdx
2
(sec x 1)tanxdx =tan xd tan x =tan xd tan x
sin x , dx cosx 1 . d cosx cosx
= -ta n 2x
In cosx c
2
2’
解：原式=1 arcta nxd(x 2)
1
(x 2 arcta nx
2 2
2
arcta nx
四、证明题。
证明：设f(x) x 3 x 1
Q f (0) 1 0, f (1) 1 0,且f (x)在 0,1 上连续
至少存在 (0,1),使得f '()
即f(x)在(0,1)内至少有一根，即f(x) 0在(0,) 假设f(x) 0在(0,)有两不同实根X 1,X 2,X 2为 Q f (x)在x 2,x 2上连续，在(x 2,x 2)内可导 且 f(xj f (x 2) 0
至少 (x 2,x 2), s tf ( ) 0 而f '( )
3 2 1 1与假设相矛盾
方程x 3 x 1 0有且只有一个正实根
证明：设 f (x) arcsinx arccosx
f (x) c f (0) arcsinO arccosO — f (1) arcsin1 arccos1 一
2
f ( 1) arcsin( 1) arccos( 1) 综上所述，f(x) arcsinx arccosx
0,x
1,
1
x 2d arctanx)
= 1(x 2
arcta nx 2
x 2 1 1 1 x 2
dx)
x 2
arcta nx
1 (1
厂R dx
1、证明方程x 3 x 1
0有且仅有一正实根。
内至少有一实根 2、证明 arcsinx
arccosx -( 1 x
2
1,1
五、应用题
1、描绘下列函数的图形
3.
X
(-8 广1)
-1 (-1,0)
（o ?Ws
）
（疵亦）
Y 1
不存 在
■
+ Y" + 0
+
+
y
l 凹
捋点 t-1.
/凸
\匹
极小
/凹
5x 0
6如图所示:
解：1.Dy=(- ,0) (0,+ )
2.y'=2x-4
x
2x 3 4•补充点(2,7).(-,
2 2
9
•(1,2).(2,2
x
2.讨论函数f(x) x2 Inx2的单调区间并求极值
解：Df (x) R
2 2(x 1)(x 1).
f '(x) 2x (x 0)
x x
令f'(x) 0,得X! 1,X2 1
由上表可知f(x)的单调递减区间为(，1)和(0,1)
单调递增区间为(1,0)和(1 )
且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。