微积分期末试卷
选择题（ 6×２）
1.设 f ( x) 2cosx , g (x) ( 1 )sin x 在区间（ 0， ）内（ ）。

2 2
Ａ f ( x)是增函数， g ( x)是减函数 Bf ( x)是减函数， g( x)是增函数 C 二者都是增函数 D 二者都是减函数
、 x
时， 2x
与
相比是（
）
2
e
cosx
sin x
Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小
Ｃ等价无穷小
Ｄ同阶但不等价无价小
1
３、ｘ =０是函数ｙ =（１ -sinx) x 的（ ）
Ａ连续点
Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点
Ｄ无穷型间断点
４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）
A X n
( 1)
n
1 B X n sin
n
n
2
C X n
1n (a 1) D X n
cos
1
a
n
5、若 f "( x)在 X 0处取得最大值，则必有（ ）
Ａ f ＇ o f ＇ o
(X 0) B (X 0)
C f ＇ 且f ''( X 0 )<0 f ''(X 0 ) 不存在或 f
'(X 0) 0 (X 0 ) 0 D
( 1 )
、曲线
y xe x 2（
）
6
Ａ仅有水平渐近线
Ｂ仅有铅直渐近线
Ｃ既有铅直又有水平渐近线
Ｄ既有铅直渐近线
1~6 DDBDBD 一、填空题
1
１、（d
）＝
dx
ｘ +1
2、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝
1
相切。

这条直线方程为：
ｘ
ｘ
３、函数ｙ＝ ２
的反函数及其定义域与值域分别是： ｘ
２＋１
４、ｙ＝ ３ ｘ的拐点为：
２ ax b
５、若 lim
ｘ 则 a, b 的值分别为：
２
2, x １
ｘ＋ 2x-3
1 In x 1
;
2 y
x 3
2x 2 ; 3 y log 2 x
,(0,1), R ; 4(0,0)
1 x
lim
( x
1)(x m) lim x
m
1 m
2
5 解：原式 = x 1 (x 1)(x 3) x 1 x 3
4
m 7 b 7, a 6 二、判断题
1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（
）
2、 lim
sin x
在区间（
， ）是连续函数（）
x 0
x
3、 f"(x 0） =0一定为 f(x) 的拐点（）
4、 若 f(X) 在 x 0 处取得极值，则必有 f(x) 在 x 0 处连续不可导（ ）
5、 设
函
数 ｆ
(x)
在
0,1
上 二
阶 可 导 且
f '(x) 0令 A
f （'0）， B
f '(1),C
f (1)
f (0), 则必有 A>B>C( )
1~5 FFFFT
三、计算题
1
1 用洛必达法则求极限
lim x 2 e x 2
x 0
1 1
1
e
x 2 2 2x 3 )
e x
(
lim e
x
2
解：原式 = lim
lim
2x
3
x 0 1
x 0
x
x 2
2 若 f ( x) (x
3 10)
4 , 求 f ''(0)
解：
f '(x) 4( x 3
10)3 3x 2 12x 2 (x 3 10)3
f ''(x)
24x (x 3 10) 3 12x 2 3 (x 3
10)2 3x 2
24x ( x 3
10)3 108x 4 ( x 3
10) 2
f ''(x)
4 3 求极限 lim(cos x) x
2
x 0
4
lim 4
I n cosx
解：原式 =lim e
x
2 I ncos x
x 2
e x 0
x 0
1
sin x)
lim
4
lim In cos x
( tan x
x
In cosx
lim cosx
lim
lim 2 x 0
x
2
x 0
x 2 x 0
x x 0
x x 0 x
4
2
2
2
原式
e 2
5
x
1
的导数
4 求 y (3x 1)3
x 2
解： In y
5
In 3x 1
1
In x 1 1
In x 2
3
2 2
y '
1
5 3 1 1 1 1 1 y
3 3x 1
2 x 2 x 2
5
x 1
5
1
1
y '
(3x 1)3
x
2 3x 1 2(x 1) 2(x 2)
5
tan 3
xdx
解：原式 = tan 2
x tan xdx
（sec 2
x 1) tan xdx = sec 2 x tan xdx tan xdx = tan xd tan x
sin x dx
cos x
= tan xd tan x
1 d cos x
cos x
1
2
= tan x In cosx
c
6 求
x arctanxdx
解：原式 =
1
arctanxd( x 2
)
1
(x 2 arctanx x 2 d arctanx)
2
2
= 1
( x 2
arctanx
x 2 1 2 1
dx) 2 1 x
=
1
x 2
arctanx
(1
1
2 1 x 2 )dx
=
1
x 2 arctanx x c
2
2
四、证明题。

1、 证明方程 x 3
x 1 0 有且仅有一正实根。

证明：设 f ( x) x 3 x 1
且 f ( x) 在 0,1上连续
f (0) 1 0, f (1) 1 0,
至少存在 （0,1),使得 f '( ） 0
即 f ( x)在（01)，内至少有一根，即 f ( x) 0在（0， ）内至少有一实根
假设 f (x) 在（ ， ）有两不同实根 x 1, x
2 , x 2 x 1
00 f (x)在 x 2 , x 2 上连续，在（ x 2 , x 2）内可导
且 f ( x 1 ) f (x 2 ) 0
至少
（x 2 , x 2）， s t f ( ) 0
而 f '( ) 3 2 1 1与假设相矛盾
方程 x 3 x 1 0有且只有一个正实根
2、 证明 arcsin x
arccosx
（ 1 x 1）
2
证明：设 f (x) arcsin x arccosx
f '(x)
1
1 0, x
1,1
1 x
2
1 x
2
f (x)
c
f (0)
arcsin0 arccos0
2
f (1)
arcsin1 arccos1
2
f ( 1)
arcsin( 1) arccos( 1)
2
综上所述， f ( x) arcsin x arccosx ， x 1,1
2
五、应用题
1、描绘下列函数的图形y x21
解： 1x
,0)(0,+ )
.Dy=(-
2.y'=2x-12x31
x2x2
令
y '
得
x
3
1 02
y ''2
2 x3
令
y ''0,得
1
x
3.
4.补充点( 2,7179 ).(
2
,).(1,2).(2, ) 222
5 lim f (x), f ( x)有铅直渐近线 x 0
x 0
6 如图所示：
2. 讨论函数 f (x)x2Inx 2的单调区间并求极值解： Df (x)R
f '(x)2x 22( x 1)(x 1)
x x( x 0)
令 f '(x)0,得
x11,x21
由上表可知 f(x) 的单调递减区间为(, 1)和(0,1)单调递增区间为( 1,0)和（，1）
且 f(x) 的极小值为f(-1)=f(1)=1。