广东省华南师范大学附中 2013届高三5月综合测试数学（理）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1. 已知i 是虚数单位，则复数3232i i i z ++=所对应的点落在A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限 2. 已知全集R U =，}21|{<<-=x x A ，}0|{≥=x x B ，则=)(B A C UA. }20|{<≤x x ；B. }0|{≥x x ；C. 1|{->x x ；D. }1|{-≤x x 3. 公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A. 4； B. 5； C. 6； D. 7 4. 若y x 、满足约束条件⎩⎨⎧≤+≥+1022y x y x ，则y x +2的取值范围是A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,22； B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22； C. []5,5-； D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5,225. N M 、分别是正方体1AC 的棱1111D A B A 、的中点，如图是过A N M 、、和1C N D 、、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为6. 若将函数52)(x x f =表示为552210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ，其中0a ，1a ，2a ，，5a 为实数，则=3aA. 10；B. 20；C. 20-；D. 10-7. 在ABC ∆中，已知向量)72cos ,18(cos ︒︒=，)27cos 2,63cos 2(︒︒=，则ABC ∆的面积为 A. 22； B. 42； C. 23； D. 2A CBDAC DBNM 1B 1C8. 对应定义域和值域均为[]1,0的函数)(x f ，定义：)()(1x f x f =，[])()(12x f f x f =， ，[])()(1x f f x f n n -=， ,4,3,2=n ，方程[]1,0,)(∈=x x x f n 的零点称为f 的n 阶不动点。

设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=121,22210,2)(x x x x x f ，则f 的n阶不动点的个数是A. n 2；B. )12(2-n ；C. n 2；D. 22n第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必作题（9~13题）9. 双曲线116922=-y x 的焦距是10.=+⎰20)sin 2(πdx x x11. 已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为 12. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出的结果是13. 已知命题“R x ∈∃，2|1|||≤++-x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是（二）选作题（请考生在以下两个小题中任选一题作答）14. （坐标系与参数方程选作题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

已知圆的方程是θρcos 4=，则它的圆心到直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=ty tx l 2322:（t为参数）的距离等于15. （几何证明选讲选作题）如图，已知P 是O ⊙外一点， PD 为O ⊙的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ， 若12=PF ，34=PD ，则O ⊙的半径长为 EFDPO,0=S 1=n 212≤n 3sinπn S S +=1+=n n 开始S输出结束是否三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16. （满分12分）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ，)2||,0,0(πϕω<>>A 的图像的一部分，如图所示。

（1）求函数)(x f 的解析式；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈32,6x 时，求函数)2()(++=x f x f y 的最大值与最小值及相应的x 的值17.（满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表。

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为53， （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有%5.99的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差。

下面的临界值表仅供参考：yxo1351-22-男女合计患心肺疾病不患心肺疾病合计10550)(2k K P ≥K15.0072.210.0706.205.0841.3025.0024.5010.0635.6005.0879.7001.0828.10O1O 1A 1B ABCDE∙∙18. （满分14分）数列}{n a 是公差为正数的等差数列，2a 、5a 且是方程027122=+-x x 的两根，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且)(211*∈-=N n b T n n ， （1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）记n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n S19. （满分14分）如图，1AA 、1BB 1OO 为圆柱的母线，BC 是底面圆O 的直径，E D 、分别是1AA 、1CB 的中点，⊥DE 平面1CBB ， （1）证明：∥DE 平面ABC（2）若BC BB =1，求1CA 与平面1CBB 所成角的正弦值20. （满分14分）如图，已知椭圆14:22=+y x C 的上、下顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、， （1）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值； （2）求线段MN 的长的最小值；（3）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论。

21. （满分14分）已知函数kx e x f x-=)(，R x ∈， （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间；（2）若0>k ，且对于任意的R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：()212)()2()1(n n e n F F F +>+ ，)(*∈N nABNMyxo参考答案一、选择题：1~8： CDAD BBAC ；8. |12|1)()(1--==x x f x f ，]1,0[∈x ，其图像为两条线段组成的折线，如图，与x y =有两个交点，故f 的一阶不动点个数为2；|1)(2|1)]([)(112--==x f x f f x f ，]1,0[∈x ，其图像为四条线段组成的折线，如图，与x y =有4个交点，故f 的2阶不动点个数为4，由此可否定选项B 、D ；|1)(2|1)]([)(223--==x f x f f x f ，]1,0[∈x ，其图像为八条线段组成的折线，如图，与x y =有8个交点，故f 的3阶不动点个数为8，由此可否定选项A ；二、填空题：9. 65； 10. 142+π； 11. 257； 12.3；13. ),1()3,(+∞--∞ ； 14. 22； 15. 4； 三、解答题16. 解：（1）由图像知，2=A ，42=T ωπ28==⇒T ，4πω=∴，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕπx x f 4sin 2)(， 由对应点得，当1=x 时，21ππϕπ+=+⨯k ，又||πϕ<，πϕ=∴。

xyo11xyo11xyo11⎪⎭⎫⎝⎛+=∴44sin 2)(ππx x f（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫⎝⎛+=4)2(4sin 244sin 2ππππx x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=44sin 2ππx ⎪⎭⎫ ⎝⎛++44cos 2ππx⎪⎭⎫⎝⎛+=24sin 22ππx x 4cos 22π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈32,6x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈∴6,234πππx ，∴ 当64ππ-=x ，即32-=x 时，y 的最大值为6； 当ππ-=x 4，即4-=x 时，y 的最小值为22-；17. （1）列联表补充如下：（2）解：因为))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，即333.832520302525)1051520(5022≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=K ，又%5.0005.0)789.7(2==≥k P ，那么，我们有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关。

（3）ξ的所以可能取值为0，1，2，3.247)0(31037===C C P ξ； 402112063)1(3102713====C C C P ξ； 40712021)2(3101723====C C C P ξ； 1201)3(31033===C C P ξ 分别列如下：ξP012324740214071201男女合计患心肺疾病不患心肺疾病合计10550201530202525xyO1O 1A 1B ABCDE∙∙z则109120134072402112470=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ， 100491201109340710924021109124710902222=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ξD 。

ξ∴的数学期望与方差分别为109=ξE ，10049=ξD 。

18. 解（1）由1252=+a a ，2752=⋅a a ，且0>d 得：32=a ，95=a 。

22525=--=∴a a d ，11=a ，12-=∴n a n 。

在n n b T 211-=中，令1=n 得：321=b ，当2≥n 时，11211---=n n b T ，两式相减得：n n n b b b 21211-=-，)2(,311≥=∴-n b b n n ，nn b ⎪⎭⎫⎝⎛⋅=∴312。

（2） nn n n n c ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-=31)24(312)12(，⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=∴n n n S 312333331232，⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=+1432312333331231n n n S ， 两式错位相减得：⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+132312313131231232n n n n S 134434++-=n n ， n n n S 3222+-=∴。